垂直问题
湖北 梁克强
立体几何引进了空间向量，逐步从传统的严密逻辑推理论证，转化到具有通法的向量运算来代替．通过坐标系的建立，把“定性”问题转化为“定量”问题来研究．
已知正四棱，，点为中
点，点为中点．证明：为与的公垂线．
证明：如图1，在以为的原点的空间直角坐标系中，
．
由，，
得．
为与的公垂线．
点评：把推理论证（）用向量运算（）来代替，减少了构造辅助图形，降低了思维量．
例2 如图2，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱
底面，为的中点，在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离．
解：如图2，在以为原点的空间直角坐标系中，
．
设．
由面，得
即
．
从而点到的距离分别为．
点评：按照传统方法，要构造三条辅助线，多解两个三角形，画图、看图以及计算都增加了难度．用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了难度．
例3 如图3，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面平面．
求证：要证明平面平面，只要证明平面内的一条直线垂直于平面中的两条相交直线即可，而从图中观察，证较容易成功．
证明：设．
则．
而，
，
，
，
．
，．
又，平面．
又平面，
平面平面．
点评：向量垂直于向量的充要条件是，据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直．在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零．
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