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g3.1031数列与函数的极限（2）
一、知识回顾
1、函数的极限
当x→∞时函数f(x)的极限:
；；
当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)
当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a)
注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题
令，分别求
当x→x0时函数f(x)的极限:
； ；
如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。
如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。
注：1与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。
2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。
注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。
4）函数极限的运算法则：
若，，那么；；
；；。
注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。
5）两个重要的极限：；和一个法则：罗必塔法则：
2、函数的连续性
(1)函数连续性的概念:
①如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x0处连续。
注：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。
②右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且（或）。
③若函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。
注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。
(2)函数连续性的运算:
①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，(g(x)≠0)也在点x0处连续。
②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。
(3)初等函数的连续性:
①基本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。
②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。
（3）
图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即不存在
图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右极限不存在，也属于不存在
图丙表示的是存在，但函数f(x)在点x0处没有定义
图丁表示的是存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。
注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”
二、基本训练
1、是函数在点xo处存在极限的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
2、m<0,n>0时，的值是（ ）
（A） （B）0 （C）1 （D）
3、（ ）
（A）0 （B） （C）－ （D）不存在
4、的值为（ ）
（A）1 （B）0 （C）－1 （D）±1
5、f(x)=下面结论正确的是（ ）
（A） （B）2 ，不存在
（C）0， 不存在 （D）≠
6.（05江西卷）8．
A．－1 B．1 C．－ D．
7.(05辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
8.（1）指出下列函数的不连续点：
①； ②； ③
（2）已知，确定常数a，使存在。
三、例题分析
例1：判断下列函数的极限是否存在：
（1）
（2）
（3）
（4），
例2：设 ，问a，b为何值时，存在。
例3：求下列各极限
(1)()； (2) ()
(3)； (4)
(5)
例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：是否存在实数根。
例5：已知求
例6：为多项式，且，求。
答案：基本训练 1—7、CBBCB CB
例1（1）不存在， （2）不存在， （3）存在， （4）不存在，
例2、当b=2，a为任何实数时，存在。
例3.(1) (2) (3)不存在 (4) （5）时，不存在。
例4解：设，则在R上连续，又，因此在[－3，0]内必存在点x0使得，所以x0是方程的一个实数根，因此方程有实根。
例5. ，
例6. 。
四、作业 g3.1031数列与函数的极限（2）
1．的值为（ ）
A．不存在 B.2 C.0 D.1
2．（ ）
A．0 B. C.1 D.
3．若，则ab的值是（ ）
A．4 B.8 C. 8 D.16
4．下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．给出下列命题
（1）若函数f(x)在x0处无定义，则必不存在；
（2）是否存在与函数f(x)在x0处是否有定义无关；
（3）与都存在，则也存在；
（4）若不存在，则必定不存在.
正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6.（05全国卷Ⅲ） ( A )
A B C D
7. （05湖北卷）若，则常数的值为 （ C ）
A． B． C． D．
8.（04年广东卷.3）函数在处连续，则（ ）
A. B. C. D.
9.（04年福建卷.理14）设函数在处连续，则实数的值为 .
10．
11．(m和n为自然数)=________.
12．=_______.
13．若f(x)=的极限为1，则x的变化趋向是______.
14．（1） = （2）=
15．讨论函数f(x)=当时的极限与在x=0处的连续性.
16.讨论函数的连续性；适当定义某点的函数值，使在区间(－3,3)内连续。
17.已知函数
讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性；（2）求f(x)的连续区间。
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