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第六章 平面向量、复数
考试内容： 1．平面向量 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．
线段的定比分点．平 面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 2.复数
复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充．
考试要求： 1．平面向量 （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式． 2.复数
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系列复数系的关系及扩充的基本思想．
g3.1053 向量的概念和基本运算
一、知识回顾
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.
单位向量：aO为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
2.向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
向量的
减法
三角形法则
,
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.>0时, 同向;
<0时, 异向;
=0时, .
向
量
的
数
量
积
是一个数
1.时，
.
2.
3.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y 2＝O.
(4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则
＝＋ (线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：
＝（＋）或
(5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
则＝+a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)
基本训练
1． 已知分别是的边上的中线,且,则为 （ ）
A. B. C. D.
2．已知,则是三点构成三角形的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若 （ ）
A. B. C. D.
4.设，则C、D的坐标分别是 （ ）
A. B. C. D.
5.已知，若，则 .
6.对平面内任意的四点A,B,C,D，则 .
7．若的方向相反，且
8．化简：
（1）_____________。
（2）______________。
（3）______________。
9.（04年上海卷.理6）已知点,若向量与同向, =,则点B的坐标为 .
10．判断下列命题是否正确
（1）若，则。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若，则是平行四边形。
（4）若是平行四边形，则。
（5）若，则。
（6）若，则。
三、例题分析
例1．已知是内的一点，若，求证：是的重心.
例2．已知，，，且，求x. 4
例3．是梯形，且，分别是和的中点，设，试用表示和
例4．已知，（如图），求证：A、B、C三点在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l、m、n使得.
例5在水流速度为的河中，如果要使船的速度行驶方向与两岸垂直，并使船速达到12，求船的航行速度与方向。
四、作业 同步练习 g3.1053 向量的概念和基本运算
1．下面给出四个命题：①对于实数m和向量，恒有
②对于实数m、n和向量，恒有
③若
④若，则m=n 其中正确的命题个数是 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
2．在平行四边形中，若，则必有 ( )
A. B. C. 是矩形 D. 是正方形
3．已知，则的取值范围是 （ ）
A. [3，8] B. （3，8） C. [3，13] D. （3，13）
4.（04年浙江卷.文4）已知向量且,则=（ ）.
A． B. C. D.
5．下列命题中，正确的是（ ）
若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
6．下列说法中错误的是（ ）
A.向量的长度与向量的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动
C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
7.若三点共线，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 51
8.已知正方形ABCD的边长为1，，则的模等于 （ ）
A.0 B.3 C. D. 2
9. （05全国卷III）已知向量，且A、B、C三点共线，则
10.（05湖北卷）已知向量不超过5，则k的取值范围是
11.（05广东卷）已知向量，，且，则x为_____________．
12．分别是的边的中点，且给出下列命题
① ② ③ ④
其中正确的序号是_________。
13．若，则__________。
14．两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是______。
15．已知不共线，，当______时，共线。
16、证明：始点在同一点的向量的终点在同直线上。
17．如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。
18、如图，已知的夹角为1200，的夹角为300，用.
答案：
基本训练：1、B 2、B 3、B 4、A
5、 6、 7、 8、(1) (2) (3) 9、
10、(1)× （2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）×
例题分析：例1、略 例2、4
例3、，
例4、略
例5、沿水流方向且与河岸夹角为的方向行驶，速度为
作业：1—8、DCCAB C
7、k= 8、[－6，2] 9、4 10、①②③④ 11、
12、 13、 14、略
15、，，
16、
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