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g3.1061空间直线与平面
一.知识回顾:
1．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，．
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
推理模式：．
4 定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面交点叫做垂足
直线l与平面α垂直记作：l⊥α
5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
6．直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
7．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
8．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
9 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
推理模式： ．
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用
二基本训练：
1．已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ）
， ，
且 、与成等角
2．、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是 （ ）
，且 ，且
，且 ，且
3．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，
有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：
①若，，则是的垂心
②若两两互相垂直，则是的垂心
③若，是的中点，则
④若，则是的外心
其中正确命题的命题是 ①②③④
三．例题分析：
例1．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然AC(α．
否则，若AC(α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MN(α，∴AC∥α，
又AC (α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．
例2．四面体中，分别为的中点，且，
，求证：平面
证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴
，又∴，∴在中，
∴，∴，又，即，
∴平面
例3. 如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面
证明：连结，∵∴，在直三棱柱中
，∴平面，∵，
∴，∴，∵是侧面的两条对角
线的交点，∴是与的中点，∴，连结
，取的中点，连结，则，
∵平面，∴平面，∴是在
平面内的射影。在中，
在中，，∴
∴，∴，∴平面
例4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，
（1）求证：平面； （2）求证：
（3）若，求证：平面
四、作业同步练习g3.1061 空间直线与平面
1、已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ）
， ，
且 、与成等角
2、、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是 （ ）
，且 ，且
，且 ，且
3、已知平面直线n过点P，则的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
4、已知直线平面内直线b与c相距6cm且a||b,a与b相距5cm，则a、c相距（ ）
A、5cm B、或5cm C、 D 、或5cm
5、在中，,AB=8,,PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为 ．
7、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，若BD＝6cm,梯形EFGH的面积为28cm2。则平行线EH、FG间的距离为
8、如图，的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E 是BC的中点，则AE与CD所成角的大小为 。
图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是 。
10、如图，A，B，C，D四点都在平面(，(外，它们在(内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在(内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．
11、ABCD是四边形，点P 是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP||GH。
参考答案
DDCBA 6、（平行四边形） 7、8 cm 8、 9、
10．证明：∵ A，B，C，D四点在(内的射影A2，B2，C2，D2
在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在(内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．
∴AB∥CD．
同理AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
11、证明：设ACBD=O,连OM，因为M是PC的中点，所以OM平行AP，
所以AP平行平面BDM，因为AP面APG 且面APG面BDM=GH
所以AP||GH。
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