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g3.1062空间平面与平面
一.知识回顾:
没有公共点——两平面平行
1.两个平面的位置关系有两种：
有一条公共直线——两平面相交
2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.
定理的模式：
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
推论模式：
3.两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
4. 两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
【附】
1. 证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：
a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β．
（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β．
（4）平行于同一个平面的两个平面平行 .
2. 两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：
“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β．
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：
“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证
线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β．
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（课本P38练习第3题）
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（课本P38习题五4）
5．两个平面垂直的定义：
相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
6．两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
7．两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二基本训练：
1.已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，则的长为（ ）
或
2．空间四边形的两条对角线，，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．答案：（8，12）
3．已知正方形所在的平面，垂足为，连结，则互相垂直的平面有 （ ）
5对 6对 7对 8对
4．平面⊥平面，=，点，点，那么是的（ ）
充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
5．若三个平面，之间有，，则与 （ ）
垂直 平行 相交 以上三种可能都有
6．已知，是两个平面，直线，，设（1），（2），（3），若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( )
0 1 2 3
三．例题分析：
例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
又BD (平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，
∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．
取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．
∴AG∥DF．
∴B1E∥DF．
∴DF∥平面EB1D1．
∴平面EB1D1∥平面FBD．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
例2．在四面体中，，且，
求证：平面⊥平面
例3．如图，为正三角形，平面，，且，是的中点，
求证：（1）；（2）平面平面；（3）平面平面。
例4三棱锥中，，点为中点，于点，连，求证：平面平面
四、作业同步练习g3.1062 空间平面与平面
1、若有平面则下列命题中的假命为（ ）
A、过点P且垂直于的直线平行于； B、过点P且垂直于的平面垂直于；
C、过点P且垂直于的直线在内； D、过点P且垂直于的直线在内；
2、设、、为平面，给出下列条件：（1）为异面直线，，（2）内距离为的平行直线在内射影仍为两条距离为的平行线；（3）内不共线的三点到的距离相等；（4）；其中能使||成立的条件的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3、已知平面||平面，P是、外一点，过点P的直线与、分别交于A、C，过点P的直线与、分别交于B 、D，且PA=6，AC=9, PD=8;则BD的长为（ ）
A、16 B、24或 C、14 D、20
4、如果||,AB和CD是夹在平面、之间的两条线段，ABCD，且AB＝2，直线AB与平面成角，那么线段CD的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、在斜三棱柱的底面中，且,过底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）
A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、的内部
6、直线AB与直二面角的两个半平面分别相交于A、B两点,且A、B均不在棱上，如果直线AB与所成的角分别为，那么的取值范围是
7、正四棱柱的底面边长为3，侧棱长为4，则两平行平面与平面的距离是
8、是所在平面外一点，分别是的重心，
（1）求证：平面; (2)求
9、如图，ABCD为矩形，PA平面ABCD ,M、N分别为AB、PC的中点，
证明：ABMN; (2)若平面PDC与平面ABCD成角，证明：平面MND平面PDC。
参考答案
D A B D B 6、 7、
8、证明:分别连PA,PB,PC并延长分别交BC,AC,AB于D,E,F
则D,E,F分别是BC,CA,AB的中点.
AC||FD
同理AB||DE, 平面
(2) AB||DE, , 又DE=AB
， 易证ABC∽
=1:9
9、10证明：10、（1）连AC，取AC的中点O，连OM，ON，
N为PC的中点，ON ||PA，而PA平面ABCD，ON面ABCD
ONAB，又ABCD为矩形，M为AB的中点，OMAB，AB平面OMN，
ABMN。
PA平面ABCD，ADDC，则PDDC，故PDA为平面PDC与的平面角，
即PDA=，PA=AD=BC，由，知MC=MP，
又N为PC的中点， MNPC， ABMN，MNCD，MN平面PCD，
故平面MND平面PCD。
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