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g3.1065空间的角
知识回顾：
1．异面直线所成角的定义： ．
2．直线与平面所成角：
（1）直线与平面平行或直线在平面内，则 ．
（2）直线与平面垂直，则 ．
（3）直线是平面的斜线，则定义为 ．
3．最小角定理： ．
4．二面角的概念： ．
5．二面角的平面角： ．
6．求二面角平面角大小的一般方法： ．
基础训练：
1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是 （ ）
2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是 （ ）
3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题：
，这个命题的真假性是 ．
4．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为 ．
例题分析：
例1. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．
（1）与是否相互垂直，请证明你的结论；
（2）求二面角的大小；
（3）求证：平面⊥平面．
解：（1）与相互垂直.证明如下：
取的中点，连结，交于点；连结．
∵，∴．又∵平面⊥平面，
平面∩平面，∴⊥平面．
在梯形中，可得，
∴，
即， ∴ ．
（2）连结，
由⊥平面，，可得，
∴为二面角的平面角，
设，则在中，
∴二面角为 ．
（3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，
则同“（1）”可得平面．
取的中点，连结，则由，
，得四边形为平行四边形. ∴，
∴⊥平面．∴平面⊥平面．
解答二：
取的中点，由侧面⊥底面，
是等边三角形，
得⊥底面．
以为原点，以所在直线为轴，
过点与平行的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则在直角梯形中，，
在等边三角形中，．∴
（1）与相互垂直.证明如下：∵
∴．
（2）连结，设与相交于点；连结．
由得．
又∵为在平面内的射影，
∴，为二面角的平面角．
在中，．
在中，．
∴二面角为．
（3）取的中点，连结，则的坐标为．
又，，
∴
．
∴
∴⊥平面． ∴平面⊥平面．
小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．
例2.在的二面角中，，已知、到的距离分别是和，且，、在的射影分别为、，求：（1）的长度；（2）和棱所成的角．
例3.棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．
例4. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点．
（1）证明；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
例5. 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，又E是C1D1的中点；
（1）CE与BD1所成角的余弦值；
（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（3）求二面角B－DC1－C的平面角的大小
四、作业同步练习g3.1065空间的角
3．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是 （ ）
4．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围 （ ）
或
5．在正三棱柱中，已知，在上，且，若与平面所成的角为，则（ ）
6．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是，则的范围是（ ）
7．已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为 ．
8．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为 ．
9.在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是中点，作交于．
（1）证明平面：
（2）证明平面；
（3）求二面角的大小．
10.如图直四棱柱 中，底面是直角梯形，设，,异面直线与互相垂直，
（1）求证：平面；（2）求侧棱的长；（3）已知，求与平面所成的角．
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