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g3.1066空间距离
知识回顾:
1．点到平面的距离： ．
2．直线到平面的距离： ．
3．两个平面的距离： ．
4．异面直线间的距离： ．
二．基础训练：
1．在中，，所在平面外一点到三顶点
的距离都是，则到平面的距离是 （ ）
2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面
的距离分别是，则到的距离是 （ ）
3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为 ，到的距离为 ．
4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为 ．
三．例题分析：
例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长
（1）证明：作于，连接，
∵，，
∴，∴，
平面，平面，
∴．
解：（2）作于，
∵平面，∴，
∴，是点到平面的距离，由（1）知，
∴．∴点到平面的距离为．
（2）连接，∵，与平面所成的角为，
，，
∴，∵，，为正三角形，
是中点，∴是中点，∴．
小结：求点到平面的距离关键是寻找点到的垂线段．
例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设，
则，，，，
∵分别是，与的中点，
∴，∵是的重心，
，∴，，
，∵平面，
得，且与平面所成角，，
，，
（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，
∵平面，到平面的距离等于．
小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．
例3．已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，（1）证明:为异面直线的公垂线；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）以分别为轴建立坐标系，
则，，，，
，，，
∴，
∴为异面直线的公垂线．
（2）设是平面的法向量，∵，
∴，，，
点到平面的距离．
小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．
例4. 如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥ D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a。（1）求截面EAC的面积；（2）求异面直线A1B1与AC之间的距离。
四、作业同步练习g3.1066 空间距离
3．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，
点到平面的距离为，则 （ ）
4．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（ ）
5．四面体的棱长都是，两点分别在棱上，则与的最短距离是（ ）
6．已知二面角为，角，，则到平面的距离为 ．
7．已知长方体中，，那么直线到平面的距离是 ．
8．已知矩形所在平面，，，则到的距离为 ，到的距离为 ．
9．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为 ．
12．在棱长为1的正方体中，
（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的距离；（4）求直线到的距离．
参考答案
1、B 2、A 8、 9、
10、解：（1）以分别为轴建立坐标系，
则，，，，
，，，
∴，
∴为异面直线的公垂线．
（2）设是平面的法向量，∵，
∴，，，
点到平面的距离．
小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．
11、解：建立如图的空间直角坐标系，设，
则，，，，
∵分别是，与的中点，
∴，∵是的重心，
，∴，，
，∵平面，
得，且与平面所成角，，
，，
（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，
∵平面，到平面的距离等于．
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