高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
g3.1069棱锥
知识回顾:
棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.
②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）
附： 以知⊥，，为二面角.
则①，②，③ ①②③得.
注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）
ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.
简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得，已知
则.
iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.
基础训练:
1．给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )
2．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的( )
垂心 重心 外心 内心
．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且 ，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是( )
4、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（ ）
A、1 B、 C、 D、
三.例题分析:
例1．正四棱锥中，高，两相邻侧面所成角为 ，,
(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。
解：（1） 作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则， ，在与中， ＝＝(其中为与底面所成的角，设为) 故 。
（2）在 中，侧棱=，，
∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，
在中，斜高；
例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；（3）求到平面的距离。
解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面
与平面的交线，∵//平面
∴//，∴为的中点。
（2）过作于，由正三棱锥的性质，平面，连结，则为平面与侧面所成的角的平面角，可求得，
由，得，∴
∵为的中点，∴，由正三棱锥的性质，，∴平面
∴，∴是平面与上底面所成的角的平面角，可求得
，∴
（3）过作，∵平面，∴，∴平面
即是到平面的距离，，∴
例3．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，，
(1)求证：二面角是直二面角；
(2)求二面角的正切值；
(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体，求几何体的侧面积．
证 (1) 如图，在三棱锥中，取的中点．
由题设知是等腰直角三角形，且．∴ ．
∵ 平面平面，∴ 平面 ，
∵ ∴ ，∴ 平面，
∵ 平面 ， ∴平面平面，
即二面角是直二面角．
解 (2)作，为垂足，则 ．∴ 是二面角的平面角．在中，，则
由，得
＝＝，
∴ 所求正切为＝．
(3) ∵ ∴ 分别是的中点．
∴ ， ．
∵ ＝＝，
．
∴ ，∴ 几何体的侧面积
四、作业 同步练习g3.1069 棱锥
1．给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )
2．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的( )
垂心 重心 外心 内心
．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且 ，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是( )
4、若P是正四面体内一点，P到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）
A、正四面体的棱长 B、正四面体的斜高
C、正四面体相对棱间的距离 D、正四面体的高
5、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（ ）
A、1 B、 C、 D、
6、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）
A、1：3 B、1：2 C、1： D、1：
7、正三棱锥的高是，侧棱长是，那么侧面和底面所成的二面角的大小是 .
8、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为1cm,2cm,3cm，则此棱锥的体积为 。
9、已知三棱锥A-BCD的体积为V，棱BC的长为a，面ABC和面DBC的面积分别为S1和S2，设面ABC和面DBC所成二面角为，则＝ .
10、三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AB=AC=a，则该三棱锥表面积S的取值范围是 ；体积V的取值范围是 .
11．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，，
(1)求证：二面角是直二面角；
(2)求二面角的正切值；
(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体，求几何体的侧面积．
12、已知在四面体ABCD中，= a，= b，= c，G∈平面ABC．
（1）若G为△ABC的重心，试证明(a+b+c)；
（2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论．
参考答案
ADCDDD
7、 8、1cm3 9、 10、
11、证 (1) 如图，在三棱锥中，取的中点．
由题设知是等腰直角三角形，且．∴ ．
∵ 平面平面，∴ 平面 ，
∵ ∴ ，∴ 平面，
∵ 平面 ， ∴平面平面，
即二面角是直二面角．
解 (2)作，为垂足，则 ．∴ 是二面角的平面角．在中，，则
由，得
＝＝，
∴ 所求正切为＝．
(3) ∵ ∴ 分别是的中点．
∴ ， ．
∵ ＝＝，
．
∴ ，∴ 几何体的侧面积
12、解：（1）连AG交BC于D，则D平分BC，且G分所成的比为2∶1，从而
，
，
故．
（2）逆命题成立，证明如下：
设D分所成的比为p，G分所成的比为q．
则，
，
于是，
=
因(a+b+c)，故，
解得q =2，p = 1，于是G为△ABC的重心．
【点此下载】