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g3.1073立体几何综合问题2
2005全国高考立体几何题
河北、河南、山西、安徽(全国卷I)
（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （C）
（A） （B） （C） （D）
（4）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 （C）
（A） （B）
（C） （D）
（16）在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则
四边形一定是平行四边形
四边形有可能是正方形
四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号）
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷）
4．已知直线m、n与平面?、?，给出下列三个命题：
①若m∥?，n∥?，则m∥n；②若m∥?，n⊥?，则n⊥m；③若m⊥?，m∥?，则?⊥?．
其中真命题的个数是(C)
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，
AD＝1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
则异面直线A1E与GF所成的角是(D)
A．arccos B． C．arccos D．
20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的
正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
20、（Ⅰ）略； （Ⅱ）；（Ⅲ）。
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）
4．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为 （ C ）
A． B． C． D．
11．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （ D ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）
（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（C）
（A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC
（16）（本小题共14分）
如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足为E，
（I）求证：BD⊥A1C；
（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；
（III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．
（16）（共14分）
（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，
在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，
即二面角A1－BD－C1的大小为90°．
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，
在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为．
2005年高考全国卷Ⅲ数学（四川、陕西、云南等地区用）
（19）(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
（19）证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………………………1分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分
则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），
D（-，0，0），V（0，0，），
,
,又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量,设是面VDB的法向量，则
∴，又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为
2005年广东省高考数学试题
(7)给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题:
则与m不共面；
、m是异面直线，；
若；
若，则
其中为假命题的是 （C）
（A）① （B）② （C）③ （D）④
16．如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，
，F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB
（I）求证：PB⊥平面CEF
（II）求二面角B—CE—F的大小（14分）
16．（I）证明：∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。
二面角B—CE—F的大小为
2005年普等学校招生全国统试一考试 天津卷（理工类）
(4)设为平面，为直线，则的一个充分条件是 （D）
(A) (B)
(C) (D)
（12）如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于．
（19）（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点
（Ⅰ）求与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明∥平面
（Ⅲ）求经过四点的球的体积
（19）解：（Ⅰ）过作平面，垂足为．
连结，并延长交于，于是为与底面所成的角．
∵，∴为的平分线．
又∵，∴，且为的中点．
因此，由三垂线定理．∵，且，∴．于是为二面角的平面角，即． 由于四边形为平行四边形，得．
（Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结．
在平行四边形中，因为的中点，故．
而平面，平面，所以平面．
（Ⅲ）连结．在和中，由于，，，则
≌，故．由已知得．
又∵平面，∴为的外心．设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线．在中，．故所求球的半径，球的体积．
2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学试题卷（理工农医类）
10．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分
别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的
重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有
2条棱与平面PEF平行，则P为 （ C ）
A．K B．H
C．G D．B′
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，
BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.
20．本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、
B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0，，1），
从而
设的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则
，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.
解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中，AO=1，OE=
∴
即AC与PB所成角的余弦值为.
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.
连PF，则在Rt△ADF中
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.
∴N点到AB的距离，N点到AP的距离
2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命
题：①若； ②若；
③若；
④若m、n是异面直线，
其中真命题是 （ D）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
17．（本小题满分12分）
已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
球面上，求△ABC的边长.
17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.
（Ⅰ）证明： 连结CF.
……4分
（Ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则
……………………8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.
设AB=a，则 …………8分
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.
，的边长为.………12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.
.……12分
2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
7．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：
①存在平面，使得、都垂直于；②存在平面，使得、都平行于；
③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，
其中，可以判定与平行的条件有 （B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2005年全国高等学校招生统一考试数学（湖南卷·理）试题
5、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面
A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 （B）
A、 B、 C、 D、
（8）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（D ）
（A） （B） （C） （D）
(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若则
②若则③若，则④是两条异面直线，若，则
上面的命题中，真命题的序号是③④（写出所有真命题的序号）
(20)(本小题满分12分)
如图，已知长方体
直线与平面所成的角为，垂直于
，为的中点.
（I）求异面直线与所成的角；
（II）求平面与平面所成的二面角；
（III）求点到平面的距离.
20．(考查知识点：立体几何)
解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得，
又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得
（I）因为所以=
易知异面直线所成的角为
（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由
即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为
（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，
所以距离=所以点到平面的距离为
作业 同步练习g3.1073 立体几何综合（二）
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．已知平面与平面相交，直线，则 （ ）
A．内必存在直线与平行，且存在直线与垂直
B．内不一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直
C．内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直
D．内必存在直线与平行，却不一定存在直线与垂直
2．已知直线，直线，给出下列命题中正确的序号是（ ）
①∥； ②∥m； ③∥； ④∥
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③
3．在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是（ ）
A． B． C． D．
4．等边三角形ABC和等边三角形ABD在两个相互垂直的平面内，则∠CAD= （ ） A． B． C． D．
5．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），
b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，P、Q是对角线AC上的点，若PQ=，则三棱锥P-BDQ的体积为 （ ）
A． B． C． D．不确定
7．四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积（ ）
A． B． C． D．以上全不正确
8．如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P1P2，P2P3，P3P1的中点，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三点重合后为点P，则折起后二面角P—AB—C的余弦值为 .
9．一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为__________________.
10．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成二面角的为大小为 .
11．如图为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.
（1）沿图中虚线将它们折叠起业，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1？
（2）设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E，求平面AB1E与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.
12．如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）求证：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A—BE—D的大小.（用反三角函数表示）.
参考答案
CDDBBA A
8、 9、 10、 arctan
11. 解： （1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（见右图），
需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.……（6分）
（2）解法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，
在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，由
三垂线定理知，B1H⊥AG，则∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角的平面角，……（8分）
在Rt△ABG中，AG=则BH=B1H=，……（10分）
，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为12分
解法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴，建立直角坐标系，设棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.……8分
设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，
于是，…………10分
取z=2，得n=（2，－1，2），又=（0，0，6），则…12分
12. 解： （1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（见右图），
需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.……（6分）
（2）解法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，
在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，由
三垂线定理知，B1H⊥AG，则∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角的平面角，……（8分）
在Rt△ABG中，AG=则BH=B1H=，……（10分）
，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为12分
解法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴，建立直角坐标系，设棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.……8分
设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，
于是，…………10分
取z=2，得n=（2，－1，2），又=（0，0，6），则…12分
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