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g3.1080双曲线
一、知识要点
1.双曲线的定义
(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.
(2)双曲线的第二定义:若点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1)
2.双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上:,焦点坐标为F1(-c,0),F 2(c,0),
.
(2)焦点在y轴上: ,焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c). .
3.双曲线简单几何性质:以标准方程为例.
(1)范围:|x|≥a;即x≥a,x≤-a.
(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).
(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A1A2叫双曲线的实轴,B1B2叫双曲线的虚轴,其中B1(0,b),B2(0,b).|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.
(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=x;
(5)准线:x=;
(6)离心率:e=,e>1.
4.等轴双曲线:x2-y2=±a2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=
二、基本训练
1．平面内有两个定点和一动点，设命题甲，是定值，命题乙：点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）
充分但不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，则应满足的关系是（ ）
3．直线 与双曲线有公共点时，的取值范围是（ ）
以上都不正确
4．已知，是曲线上一点，当取最小值时，的坐标是_____，最小值是 ．
5．如果分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且，则的周长是___________．
三、例题分析
例1 (05重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。
例2 已知双曲线(＜θ＜π)过点A(4,4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A的焦半径.
例3.过双曲线的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F的距离，并求弦AB的长.
例4.已知双曲线的离心率e>1+,左,右焦点分别为F1,F2,左准线为l1,能否在双曲线的左支上找到一点P,使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?
例5是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．
（1）渐近线方程为，（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．
四、作业 同步练习 g3.1080双曲线
1（05天津卷）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
2共轭双曲线的离心率分别为e1与e2，则e1与e2的关系为： （ ）
A、e1=e2 B、e1e2=1 C、 D、
3若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是： （ ）
A、 B、 C、 D、
4（05江西卷）以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
5（05上海）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。
6（05山东卷）设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率
7．双曲线上一点的两条焦半径夹角为，为焦点，则的面积为_________________．
8．与圆及圆 都外切的圆的圆心轨迹方程为_____________________．
9．过点作直线，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线的条数是____________________．.
10一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．
11设双曲线两焦点，点为双曲线右支上除顶点外的任一点，，求证：．
12．已知双曲线的两个焦点为，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线过点，且与线段的夹角为，，直线与线段的垂直平分线的交点为，线段与双曲线的交点为，且，求双曲线方程．
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