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第九章 排列、组合和二项式定理
考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析睡解决一些简单 的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应 用问题． （3）理解组合的意义，掌握排列数计算公式和组合的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
g3.1089 分类计数原理与分步计数原理
知识回顾
分类计数原理和分步计数原理
（1）分类计数原理（加法原理）：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
二、基础训练
1.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）.
A.24种 B.16种 C.12种 D.10种
2.（2002年全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
3. 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（ ）
A、 B、 C、 D、
4.（05湖南卷）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）
A．48 B．36 C．24 D．18
5.某城市的电话号码，由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是 （ ）
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97
C.9×107 D.81×106
6. .72的正约数共有__________个.
7.（2005年春季北京，13）从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有____________个，其中不同的偶函数共有____________个.（用数字作答）
三、例题分析
例1. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
例2. 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?
变题：上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?
例3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）
例4. 关于正整数2160，求：
（1）它有多少个不同的正因数？
（2）它的所有正因数的和是多少？
例5. 球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？
例6. 关于正整数2160，求：
（1）它有多少个不同的正因数？
（2）它的所有正因数的和是多少？
例7. 球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？
四、同步练习 g3.1089 分类计数原理与分步计数原理
1.（2004年全国，文5）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于
A.0 B. C. D.
2.（2004年黄冈检测题）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为
A.504 B.210 C.336 D.120
3.从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是
A.208 B.204 C.200 D.196
4.（2004年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有.
A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
5.（05福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
6.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有__________种.
7.4棵柳树和4棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_____________种.
8.（2001年上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种.（结果用数值表示）
9.（2003年全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）
10.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?
11.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
12.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?
基本训练
1—5 CBABD 6. 12 7. 48；9
同步练习答案：
1—3、 BACCB
6、 25. 7、1152. 8、 7. 9、72.. 10、20.
11.解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种.
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种.故有n=5×５×５×５=54种.
12.解：设较小的两边长为x、y且x≤y，
则 x≤y≤11，
x+y>11，
x、y∈N*.
当x=1时，y=11；
当x=2时，y=10，11；
当x=3时，y=9，10，11；
当x=4时，y=8，9，10，11；
当x=5时，y=7，8，9，10，11；
当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；
当x=7时，y=7，8，9，10，11；
……
当x=11时，y=11.
所以不同三角形的个数为
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.
例6解：（1）∵N=2160=24×33×5，
∴2160的正因数为P=2α×3β×5γ，
其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1.
∴2160的正因数共有5×4×2=40个.
（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数.
∴正因数之和为31×40×6=7440.
例7.解：设击入黄球x个，红球y个符合要求，
则有 x+y=4，
2x+y≥5（x、y∈N），得1≤x≤4.
∴
相应每组解（x，y），击球方法数分别为CC，CC，CC，CC.
共有不同击球方法数为CC+CC+CC+CC=195.
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