高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 g3.1091 组合 一、知识梳理 1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C
表示. 2.组合数公式C
=
. 3.组合数的两个性质： （1）C
=C
；（2）C
=C
+C
. 二、基础训练 1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是 A.140 B.84 C.70 D.35 特别提示 先从甲型、乙型中各抽1台，有C
·C
种，再从余下的中选1台，有C
种， 故有C
·C
·C
=140（种）.解法不正确. 2.（04北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则
等于 A.
B.
C.
D.
3.已知{1，2}
X
{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X共有_____________个. A.2 B.6 C.4 D.8 4.（05北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) （A）
（B）
（C）
（D）
5.（05福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 6.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________. 7.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种. 三、例题分析 例1. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法? 例2. 设集合A={1，2，3，…，10}， （1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值； （2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，an，求a1+a2+a3+…+an的值. 例3. 从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？ 思考讨论 讨论下面的问题： 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？ 提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A
个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A
+9=21. 例4. 如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？
深化拓展 1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m－2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n－1）段，其余的为南北方向的（m－1）段，所以共有C
=C
种走法. 2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_____________. 解：设一步一级x步，一步两级y步，则
故走完楼梯的方法有C
=28种. 例5. 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容. （1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场； （2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位. 四、同步练习 g3.1091 组合 1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种 2.（04江苏）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 3.（05江西卷）将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A．70 B．140 C．280 D．840 4．六个人分乘两辆不同的车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法为 A．40 B．50 C．60 D．70 5.(05全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。 6.（04湖北）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.（以数字作答） 7.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种. 8.（05天津卷）设
,则
9.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？ 10.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种? 11.有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张? 12.从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法? 参考答案 基础训练 1—5. CBDAB 6. 420 7. 36 例题分析： 例1. C
·C
·C
+C
·C
=20. 例2.（1）n=C
=120. （2）a1+a2+…+an=C
×（1+2+3+…+10）=1980. 评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果. 例3.共有C
·C
·C
+3C
=1360种. 评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类. 例4.从A到B的最短路线共有C
=C
=35条. 例5.（1）C
=126种. （2）共有120+340+176=636种. 同步练习： 1—4. ADAB 5.100 6.240 7. 90 8.
9.共有C
+A
+C
=84种. 10. 195种. 11.共可开出C
C
+C
C
C
+C
C
C
+C
C
C
+C
C
C
+ C
C
C
C
=185种. 评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有C
C
+C
C
C
+C
C
C
=185种. 12.取法种数为C
+
=
+
=2500.

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