高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 第十二章 概率与统计 ●网络体系总览
●考点目标定位 1.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列. 2.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差. 3.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本. 4.会用样本频率分布估计总体分布. 5.了解正态分布的意义及主要性质. 6.了解线性回归的方法和简单应用. 7.实习作业以抽样方法为内容，培养学生解决实际问题的能力. ●复习方略指南 在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用. 1.把握基本题型 应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视. 2.强化双基训练 主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力. 3.强化方法选择 特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系. 4.培养应用意识 要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力. 12.1 离散型随机变量的分布列 一、知识梳理 1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示. （1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量. （2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 （1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率P（ξ=xi）=pi，则称表 ξ x1 x2 … xi …  P p1 p2 … pi …  为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. （2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P（ξ=k）=C
pkqn－k. 其中k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n  P C
p0qn C
p1qn－1 … C
pkqn－k … C
pnq0  我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n、p为参数，并记C
pkqn－k=b（k；n，p）. 特别提示 二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布. （3）. 几何分布：“
”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为
，事A不发生记为
，那么
.根据相互独立事件的概率乘法分式：

于是得到随机变量ξ的概率分布列.
1 2 3 … k …  P q qp 
… 
…  我们称ξ服从几何分布，并记
，其中
二、基础训练 1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是D A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点 D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 2.下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是C A. ξ －1 0 1  P 0.3 0.4 0.4   B. ξ 1 2 3  P 0.4 0.7 －0.1  C. ξ －1 0 1  P 0.3 0.4 0.3  D. ξ 1 2 3  P 0.3 0.4 0.4  3.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=
，k=1，2，…，则P（2<ξ≤4）等于A A.
B.
C.
D.
4.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________. ξ 0 1 2 3 4 5  P 0.95 0.5×0.94 0.1×0.93 0.01×0.92 4.5×0.14 0.15  5.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=
，则P（η≥1）=__
____. *6.如果ξ～B（20，
），则使P（ξ=k）取最大值的k的值是________. 解析：
=
=
×
≥1， 得k≤6. 所以当k≤6时，P（ξ=k+1）≥P（ξ=k）， 当k＞0时，P（ξ=k+1）＜P（ξ=k）， 其中k=6时，P（ξ=k+1）=P（ξ=k）， 从而k=6或7时，P（ξ=k）取得最大值. 答案：6或7 三、例题剖析 【例1】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列. 特别提示 求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率. 【例2】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列. 【例3】 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列. 思考讨论 若本题改为：若每次取1个，用完放回再取1个，用完再放回，再取1个用完放回，则怎样求此时ξ的分布列呢? 【例4】 （05年山东卷）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
表示取球终止所需要的取球次数. （I）求袋中所有的白球的个数； （II）求随机变量
的概率分布； （III）求甲取到白球的概率. 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓 四、同步练习 g3.1097 离散型随机变量的分布列 1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是B A.5 B.9 C.10 D.25 2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ=12）等于B A.C
（
）10·（
）2 B.C
（
）9（
）2·
C.C
（
）9·（
）2 D.C
（
）9·（
）2 3.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是___ P（ξ=k）=C
0.3k0.75－k，k=0，1，…，5_____. 4.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）=____
____. 5.（2004年天津，理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望； （3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率. 6.（2003年高考·新课程）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率  A1对B1 

 A2对B2 

 A3对B3 

 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η. （1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ、Eη. 7.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h内，不能正常工作的时间大约是多少? 8.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的分布列. 9.（2004年春季安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ. 10.(05重庆卷)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求： (1) 该顾客中奖的概率； (2) 该顾客获得的奖品总价值( (元)的概率分布列和期望E(。

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