主干知识整合
1．函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，特别注意定义中的符号语言；
(2)奇偶性：偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．特别注意定义域含0的奇函数f(0)＝0；
(3)周期性：f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期．
2．对称性与周期性的关系
(1)若函数f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别地若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；[来源:]
(2)若函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0)，(b,0) (a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别，若奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；
(3)若函数f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，4|b－a|是它的一个正周期，特别是若偶函数f(x)有对称中心(a,0)(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期，若奇函数f(x)有对称轴x＝a(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期．
3．函数的图象
(1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；
(2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况；幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α＝0，α<0三种情况．
要点热点探究
探究点一 函数的性质的应用
例1 (1)[2011·安徽卷] 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3[来源: ]
(2)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于________．
(1)A (2)－ 【解析】 (1)法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.
法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选A.
(2)根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f的值是0＋＝－.
【点评】 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的实际通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．本题第(2)小题中，实际上就是用已知条件给出了这个函数，解决问题的基本思路有两条：一条是把这个函数在整个定义域上的解析式求出，然后再求解具体的函数值；一条是推证函数的性质，把求解的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值．本题根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)还可以推证函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，函数又是奇函数，其图象关于坐标原点对称，这样就可以画出这个函数在上的图象，再根据周期性可以把这个函数的图象拓展到整个定义域上，进而通过函数的图象解决求指定的函数值，研究这个函数的零点等问题，在复习中要注意这种函数图象的拓展．
变式题：设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝( )
A．10 B. C．－10 D．－[来源:]
B 【解析】 根据f(x＋3)＝－，可得f(x＋6)＝－＝－＝f(x)，所以函数y＝f(x)的一个周期为6.所以f(107.5)＝f(108－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝f(－2.5＋3)＝－＝.
例2 [2011·安徽卷] 函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图象如图2－1所示，则m，n的值可能是( )
图2－1
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2
C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1[来源: ]
B 【解析】 由图可知a＞0.当m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)的图象关于直线x＝对称，所以A不可能；
当m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，
f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(3x－1)(x－1)，
所以f(x)的极大值点应为x＝＜0.5，由图可知B可能．
当m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，
f′(x)＝a(2x－3x2)＝－ax(3x－2)，
所以f(x)的极大值点为x＝＞0.5，所以C不可能；
当m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，
f′(x)＝a(3x2－4x3)＝－ax2(4x－3)，[来源:]
所以f(x)的极大值点为x＝＞0.5，所以D不可能，故选B.
【点评】 函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实际作出判断，这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力．利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐成为高考的一个命题热点，看下面的变式．
变式题：[2011·山东卷] 函数y＝－2sinx的图象大致是( )
图2－2
C 【解析】 由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)为奇函数，所以排除A；又f′(x)＝－2cosx，当x在x轴右侧，趋向0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x轴右边接近原点处为减函数，当x＝2π时，f′(2π)＝－2cos2π＝－<0，所以x＝2π应在函数的减区间上，所以选C.
探究点三 基本初等函数性质及其应用[来源:]
例3 [2011·辽宁卷] 设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
D 【解析】 当x≤1时，f(x)≤2化为21－x≤2，解得0≤x≤1；
当x>1时，f(x)＝1－log2x<1<2恒成立，故x的取值范围是[0，＋∞)，故选D.
【点评】 本题要注意在分段函数上分段处理的方法，另外就是要注意在解对数方程或者不等式时一定要注意其真数大于零的隐含条件．高考对指数函数、对数函数和幂函数的性质的考查主要是应用，应用这些函数的性质分析函数图象、解不等式、比较数值的大小等，如下面的变式．
变式题：[2011·天津卷] 已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则( )
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
C 【解析】 令m＝log23.4，n＝log43.6，l＝log3，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m>l>n，
又∵y＝5x为单调递增函数，
∴a>c>b.
创新链接2 抽象函数解题思路[来源:]
所谓抽象函数问题就是不给出函数的解析式，只给出函数满足的一些条件的函数问题，这类问题的主要题型是推断函数的其他性质、研究特殊的函数值、解与函数的解析式有关的不等式等．
抽象函数问题的难点就是没有给出函数的解析式，需要我们根据函数满足的一些已知条件推断函数的性质，然后根据函数的性质解决问题，可以说推断函数性质是我们解决抽象函数问题的一个基本思想．如果是选择题或者填空题可以找到满足已知条件的具体函数，通过具体函数解决一般性问题．
例4 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)
【分析】根据给出的函数值的等式，f(x＋1)＝－f(x)，把其中的x替换成x＋1后，再次使用上面关系可得f(x＋2)＝f(x)，再根据函数是偶函数可得f(x＋2)＝f(－x)，即可得函数图象关于直线x＝1对称，再根据函数是偶函数，其图象还关于y轴对称，即可根据函数在已知区间上的单调性推断该函数在未知区间上的单调性．
【答案】 ①②④
【解析】 由f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故函数f(x)是周期函数，命题①正确；
由于函数f(x)是偶函数，故f(x＋2)＝f(－x)，函数图象关于直线x＝＝1对称，故命题②正确；
由于函数f(x)是偶函数，故函数在区间[0,1]上递减，根据对称性，函数在[1,2]上应该是增函数(也可根据周期性判断)，故命题③不正确；
根据周期性，f(2)＝f(0)，命题④正确．
【点评】 解这类抽象函数试题，关键是对函数值等式的变换，通过变换首先得到其周期性，再根据函数的性质对各个结论作出判断．本题中关系式f(x＋1)＝－f(x)，可以变换为f(x＋1)＝－f(－x)，这个等式说明函数图象关于点中心对称．
变式题：(1)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能为0 D．可正可负
(2)[2011·辽宁卷] 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)[来源: ]
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
(1)A (2)B 【解析】 (1)根据不等式(x1－2)(x2－2)<0，可得x1，x2的值一个大于2、一个小于2.由题意知x1，x2地位是对等的，不妨设x1<2，x2>2，当x1<2，x2>2，x1＋x2<4时，可得22时函数f(x)单调递增，所以f(x2)2，所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.
规律技巧提炼
1．(1)已知函数f(x)满足对任意x有f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则可得f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，即可推知2a是这个函数的一个周期；
(2)已知函数f(x)满足对任意x都有f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a≠0)，同样可推知2a为其周期；
(3)已知函数f(x)满足对任意x，都有f(x＋a)＝(a≠0，f(x)≠1)，则采用f(x＋2a)，f(x＋4a)进行推理可得其一个周期是4a.
2．如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则这个函数图象本身是一个轴对称图形，关于直线x＝对称，反之亦然；如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝－f(b－x)，则这个函数图象本身是一个中心对称图形，对称中心是，反之亦然．注意这个结论中b＝a的情况．
3．由偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称可得函数解析式满足f(a＋x)＝f(a－x)，进而f(2a＋x)＝f(－x)＝f(x)，即可得到函数y＝f(x)的一个周期是2a；当奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)对称时，可得f(a＋x)＝－f(a－x)，以x＋a代x得，f(2a＋x)＝－f(－x)＝f(x)，也可推出2a是函数f(x)的一个周期．
教师备用例题
备选理由：例1是考查以映射的观点看待函数以及函数的三要素，鉴于这个问题不是高考考查的重点，我们在正文中没有列入这个探究点，可用此题补充这个知识点；例2虽然是2009的高考试题，可这个题目是高考考查抽象和函数性质中较为深入的一个试题，试题具有较大的难度，其解法体现了解决一类抽象函数问题的基本方法；例3的目的是考查使用函数性质的思想意识，就是透过具体的函数解析式发现和使用函数性质，这种意识也要注意培养；例4，试图通过这个题提供一个解决区域内整点个数的一般方法．
例1 给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.
(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________；
(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________．[来源: .Com]
【答案】 a(a为正整数) 16
【解析】 由于函数f(n)在n>1时的解析式是f(n)＝n－1，根据给出的函数值必须是正整数，可得只要f(1)的值为正整数即可，即此时函数f(n)＝
当k＝4时，函数在n>4时的解析式是f(n)＝n－4，在n＝1,2,3,4时，由于函数值满足f(n)＝2,3，故f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的取值各自有两种可能，因此这个函数在n≤4时，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)取值的可能性有16种，所以有16个这样不同的函数．
【点评】 本题考查函数概念的理解，即在函数定义域确定的情况下，函数的值域可以不同，从而得到的函数也不相同，本题的目的是考查考生对函数三要素的理解程度．
例2 函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
【解析】 D 由已知条件知f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
f(－x－1)＝－f(x－1)．
由f(－x＋1)＝－f(x＋1)?f(－x＋2)＝－f(x)；
由f(－x－1)＝－f(x－1)?f(－x－2)＝－f(x)．
由此得到f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数．
这样f(x＋3)＝f(x－1)，故函数f(x＋3)是奇函数．
例3 设f(x)＝x3＋x，x∈R，当0≤θ≤时，f(msinθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－∞，0) C. D．(－∞，1)
【解析】 D 根据函数的性质，不等式f(msinθ)＋f(1－m)>0，即f(msinθ)>f(m－1)，得msinθ>m－1在上恒成立．当m>0时，即sinθ>恒成立，只要0>即可，解得00即可，解得m<0.综上可知：m<1.
例4 [2011·北京卷] 设A(0,0)，B(4,0)，C(t＋4,4)，D(t,4)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为( )
A．{9,10,11} B．{9,10,12}
C．{9,11,12} D．{10,11,12}
【解析】 C 显然四边形ABCD内部(不包括边界)的整点都在直线y＝k(k＝1,2,3)落在四边形ABCD内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以9＝3×3≤N(t)≤3×4＝12.
如图(1)，图(2)，当四边形ABCD的边AD上有5个整点时，N(t)＝9；
如图(3)，当四边形ABCD的边AD上有2个整点时，N(t)＝11；
如图(4)，当四边形ABCD的边AD上有1个整点时，N(t)＝12.
故应选C.
[来源: .Com][来源: ]
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