从近三年高考看，新课标降低了计数原理的难度要求，排列组合、二项式定理每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；用二项式定理及二项式系数的性质计算，突出了幂运算在二项式定理中的应用，强调运算的正确性．难度值一般在0.55～0.8之间.
考试要求：
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理：①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合：①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理：①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
题型一 两个计数原理的综合问题
例1（1）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种．
（2）在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
点拨（1）抓住分类用加、分步用乘，两个基本计数原理，解决问题．注意分步和分类往往交互使用．
（2）科学分类将问题分成三类求解；正难则反从总数中排除三点共线的组合
解：（1）分为2台原装3台组装和3台原装2台组装两类，完成第一类分两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有种方法，据乘法原理共有种方法．同理，完成第二类有种方法．据加法原理完成全部的选取过程共有种方法．
（2）解法一 第一类办法 从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有CC个；第二类办法 从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个；第三类办法 从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个 由加法原理共有N=CC+CC+CC个三角形，故选C
解法二 从m+n+1中任取三点共有C个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有C个，三点均在射线OB(包括O点)，有C个 所以，个数为N=C－C－C个 整理后得CC+CC+CC
易错点：（1）要意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中还要分步完成．不能先保证每种选2台后从剩下的当中选1台的办法．
（2）A中含有构不成三角形的组合，如 CC中，包括O、Bi、Bj；CC中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点；B漏掉△AiOBj；D有重复的三角形 如CC中有△AiOBj,CC中也有△AiOBj
变式与引申1：（1）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种．
A．????????? B． ?????? C．???????? D．
（2）四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________
题型二 排列组合的应用问题
例2（1）（2010年江西理科卷第14题）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）．
（2）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A． 60 B． 48 C． 42 D． 36
点拨（1）根据分组元素个数相同注意平均分组问题．
（2）有限制条件的排列组合问题，常用方法有①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③特殊元素(位置)优先法等．
解：（1） 先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组 ，两个一人组 ，再全排列得：种．
（2）解法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法． 故选B．
解法二：同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A， A共有种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；
第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法．
此时共有＝12种排法， 三类之和为24＋12＋12＝48种，选B．
易错点：（1）排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误．
（2）解含有限制条件的排列组合问题时,首先要弄清是“有序”还是“无序”，还有如果直接法分情况比较多,则间接法比较简单,．
变式与引申2：（1）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A．480?种??????? ?B．240种????? C．120种???????? D．96种
（2）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为（ ）
A．42种 B．30种 C．20种 D．12种
（3）用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？
题型三 二项式系数的性质
例3（1）（2010辽宁理科卷第13题）的展开式中的常数项为_______．
（2）展开式中的系数为10，则实数a等于
点拨：（1）抓住二项展开式的通项，“常数项”与“指数为零”的转化
（2）抓住二项展开式的通项与指数是解决此类问题的关键
解：（1）的展开式的通项为，当r=3时，，当r=4时，，因此常数项为-20+15= -5
（2）解析：本题考查二项展开式的通项公式
由得，有
易错点：求展开式中的特定项时，运算要准确，特别要注意符号．
变式与引申3：（1）求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数；
（2）求展开式中的系数．
（3）求展开式中系数最大的项．
题型四 二项式系数的综合应用
例4 已知，求
点拨：二项式的一般展开式中，求系数和常用赋值法
解：令时，有
令时，有
∵
∴
易错点：赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的
变式与引申4：（1）已知，求
（2）除以9的余数是多少？
本节主要考查：
（1）知识点有两个计数原理、排列数组合公式和性质、二项式定理．
(2)求解排列组合问题常见题型方法：①相邻问题捆绑法，②不相邻问题插空法，③分排问题直排法，④定序问题除法，⑤平均分组（除），⑥部分平均分组（部分除），⑦不平均分组；
（3）分类选派问题：注意要分类清楚；
（4）数字问题：注意0的特殊性，注意有无重复数字，注意数字位数；
（5）会根据多项式还原为二项式，注意项数以及次数的对应；
（6）赋值法应用．
点评：（1）两个计数原理、排列组合知识与概率联系十分密切,2010年全国及各省市命题,总有一小题是对排列组合应用的考查．对于概率的解答题中,用排列、组合知识作答的占多数；
（2）解排列组合问题通常考察的是有附加条件的问题，解决这类问题通常有三种途径： ①以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主，应先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出总数再减去不符合条件的个数；
（3）二项式定理部分主要考查求二项展开式的特定项或二项式系数的性质，要熟记通项公式；注意区别系数和二项式系数，并会求系数最大的项以及二项式系数最大的项．
（4）熟记几个组合数公式性质以及推论，会熟练应用其求值．
习题4—1
1、（2009陕西卷文）若,则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
2、 如图4-1-1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，
则不同的着色方法共有 种（以数字作答）．
3、有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中 取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法．
4、有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
5、已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11．
(1)求x2的系数的最小值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
第二节 概率
近三年高考概率试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等偏易或中等，仍然是高考卷中的主流应用题．试题特点是小题更加注重基础，大题更加注重能力，通过对课本知识的重新组合，着重考查古典概型与几何概型，互斥事件与条件概率，离散型随机变量的分布列、数学期望和方差等．难度值一般在0.5～0.8之间.
考试要求：
概率（必修）：（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型 ①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义.
概率（选修）：① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.② 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.⑤ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
题型一 古典概型与几何概型
例1（1）甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．则取出的两个球是不同颜色的概率为 ．
（2）在等腰的斜边取一点，则的概率为 ．
点拨：（1）抓住每个基本事件等可能性，建立适当的古典概率模型．
（2）几何概型主要有长度、角度、面积、体积等度量值之比．
解：（1）在每个盒中不同颜色的球的个数相同，从颜色考虑，在甲盒中取球有３种可能，在乙盒中取球有３种可能，总共有种可能，两个球颜色不同有７种可能，不同颜色的概率为．
（2）点在上任何一个位置的可能性相等，且，则的概率为．
易错点：构建概率模型时忽略每个基本事件的等可能性要求，如变式中题目．
变式与引申1：
（1）甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各2个；乙盒子中有黄，黑二种颜色的球各2个，白球各1个，从两个盒子中各取1个球．则取出的两个球是不同颜色的概率为 ．
（2）在等腰中，过点作直线交斜边于点，则的概率为 ．
题型二 互斥事件与对立事件
例2、袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：[来源: ]
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）计分介于20分到40分之间的概率．
点拨：互斥事件的概率加法公式与对立事件的概率计算．
解：（1）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以．
（2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，即最大数字为3或4，则
最大数字为3时：
最大数字为4时：
易错点：在计算互斥事件的概率时分类不清；不能利用对立事件进行快速计算．
变式与引申2：盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分 . 现从盒内任取3个球.
（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（2）求取出的3个球中至少两个球颜色相同的概率．
题型三 相互独立事件与条件概率
例3、袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，
（1）作不放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率．
（2）作有放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率．
点拨： “第二次才取到黄色球”是指“第一次取到白色球”与“第二次取到黄色球”同时发生．
解: 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,
.
易错点：容易混淆P(AB)与P(B/A)的含义, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
变式与引申3：（2010年安徽卷理科第15题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_ ____（写出所有正确结论的编号）
①； ②； ③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．
题型四 随机变量的期望与方差
例4、在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题． 设4名考生选做这两题的可能性均为．
(１)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;
(２)设这4名考生中选做第15题的学生数为个,求的分布列及数学期望．
点拨：抓住考生之间的选题是相互独立的，4个考生选做是4次独立重复实验，随机变量服从二项分布．
解： (1)设事件表示“甲选做14题”,事件表示“乙选做14题”,则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”,且事件、相互独立
∴ =
(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4．且．
∴
所以变量的分布列为
0
1
2
3
4
或
易错点：（１）忽略分为两个互斥事件．（２）次独立重复实验概率的计算公式记不清．
变式与引申4：(2009·天津高考改编)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
本节考查：
（1）互斥事件的概率，条件概率、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等基本概念及基本运算，以及运用概率知识解决问题的能力．（2）解题时，注意列举法、分类讨论与正难则反思想方法运用．
点 评：
在复习备考中着重做到：（1）三个理解：理解互斥事件与相互独立事件；理解古典概型与几何概型；理解二项分布与超几何分布．（2）四个会：会用排列组合公式计算概率；会用互斥事件的概率加法公式计算概率；会用独立事件的概率乘法公式计算概率；会根据分布列求离散随机变量的期望与方差．
求离散型随机变量的分布列的应用问题，可分如下几个步骤：（1）明确随机变量的所有可能值；（2）求出与这些可能取值等价事件的概率；（3）按要求写出分布列；（4）再根据所得分布列来解决其他的问题．
在复习中，应注意联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流．注意“至少”“恰有”“至多”一类词语的含义，找出事件A包含的基本事件数．
习题4—２
1、已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ）
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585
2、在区间（0，1）中，随机的取出两数，其和小于的概率 ；
3、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(2)平均有多少家煤矿必须整改;
(3)至少关闭一家煤矿的概率.
4、已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（2）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
5、(2010年山东卷理科第20题）某学校举行知识竞赛，第一轮选拨共设有四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；
③每位参加者按顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题的个数，求的分布列和数学期望．
第三节 统计、统计案例
从近三年高考试卷看，在选择填空题和客观题中都有统计内容出现，分值一般在12分左右，约占试卷总分的8﹪，一般是容易或中档题为主, 难度值在0.5～0.7之间.统计案例（回归分析、独立性检验）作为新增内容，在2010年高考全国新课标卷出现解答题.分析发现统计及统计案例在高考中有增加的趋势.
考试要求：
统计（必修）：（1）随机抽样：① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）：用样本估计总体① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性：① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
统计案例：了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.（1）独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.（2）回归分析：了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
题型一 三种抽样方法
例1 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
点拨：抓住分层抽样中“按比例抽取”的本质；抓住系统抽样中“按相同的间隔规律抽取样本”的特点；
解：对于系统抽样应在1-27，28-54，55-81，82-108，109-135，136-162，163-189，190-216，217-243，244-270中各抽取一号，对于分层抽样应在1-108抽取4个号，109-189抽取3个号，190-270抽取3个号，故选D.
易错点：在本例中,⑴要能正确审清题意，否则求解思路受阻；⑵不能把每层抽的人数转化为在哪个区间取号；（3）忽视系统抽样等距的特点，分段的临界值会出错.
变式与引申1：（1）为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.
根据上面的叙述，试回答下列问题：
（Ⅰ）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？
（Ⅱ）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？
（Ⅲ）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.
（2）某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.
题型二 数据的数字特征
例2 为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数（单位：1 000 km）
轮胎A 96， 112, 97, 108, 100, 103, 86, 98
轮胎B 108， 101， 94， 105， 96， 93， 97， 106
（1）分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数，中位数；
（2）分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；
（3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？
点拨：（1）分析数据，利用公式与定义求平均数、中位数、标准差、极差；（2）抓住数字特征数值大小与数据稳定的关系．
解：（1）A轮胎行驶的最远里程的平均数为：
中位数为： ；B轮胎行驶的最远里程的平均数为：
中位数为：.
(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为：112-86=26，标准差为：
B轮胎行驶的最远里程的极差为：108-93=15，
标准差为：
（3）由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定.
易错点：（1）错误理解中位数、极差定义；不知用标准差反映稳定性；（2）忘记求标准差公式；（3）运算不仔细，导致计算错误.
变式与引申2：随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图示.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
题型三 用样本估计总体
例3 （2010湖南理科卷第17题）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.
（1）求直方图中x的值 .
（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
点拨：利用矩形面积之和等于1求x的值；理解问题(2)有放回任取3位居民，其概率分布符合二项分布，利用公式计算分布列和数学期望.[来源: ]
解：（1）
，
（2），
，，
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
易错点：（1）不清楚矩形面积表示的就是频率；（2）从频率分布直方图读取数据时,不注意组距及纵坐标是频率除以组距,而各长方形面积和为1；（3）不记得二项分布及期望的计算公式.
变式与引申3：某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.
（1）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1
生产能力分组
情况解人数
4
8
5
3
表2
生产能力分组
人数
6
y
36
18
（ⅰ）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（ⅱ）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
题型四 回归分析及独立性检验
例4 一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得的数据如下：
零件个数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y（分）
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
（1）与是否具有线性相关关系？
（2）如果与具有线性相关关系，求回归直线方程.
（3）并据此估计加工200个零件所用的时间为多少？
点拨：画散点图，观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近；利用样本相关系数的计算公式对其进行相关性检验；利用公式计算出,再由求出，写出回归直线方程.
解：（1） ，
. 于是：
，又查得相应于显著性水平0.05和的相关系数临界值，由.
（2）设所求的回归直线方程为，同时，利用上表可得
，
即所求的回归直线方程为.
(Ⅲ)当时，的估计值.故加工200个零件时所用的工时约为189个.
易错点：(1)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式；(2) 题目中若已知呈线性相关关系，就无须进行相关性检验.否则，应先进行相关性检验.因为若两个变量不具备相关关系，或者说它们之间相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的；（3）此题对计算能力的要求较高，若计算不慎，可导致对线性相关性的判断有误.
变式与引申4：（1）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
房屋面积（）
115
110
80
135
105
销售价格（万元）
24.8
21.6
18.4
29.2
22
（Ⅰ）画出数据对应的散点图；
（Ⅱ）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
（Ⅲ）据（Ⅱ）的结果估计当房屋面积为时的销售价格
⑵ (2010辽宁理科卷第18题) 为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
频数
30
40
20
10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
频数
10
25
20
30
15
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
[来源:]
（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
表3：
疱疹面积小于70
疱疹面积不小于70
合计
注射药物A
注射药物B
合计
附：
本节主要考查：⑴知识点有；1.三种常用抽样方法：(1)简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样.2．用样本的数字特征估计总体的数字特征： （1）众数、中位数；（2）平均数与方差.3．频率分布直方图、折线图与茎叶图.4．线性回归：回归直线方程.5．统计案例：相关系数（回归分析）、独立性检验.
⑵考查在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法；⑶考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解；会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题；⑷作两个相关联变量数据的散点图，判断两个变量的线性相关性，了解最小二乘法的思想，会求相关系数及线性回归方程；考查看图、作图和运算求解等基本数学能力；⑸了解独立检验的基本思想、方法及其简单应用；并借助解决一些简单的实际问题来了解一些基本的统计思想．
点评：⑴统计案例（回归分析、独立性检验）是新增内容，在全国的高考中并没有涉及到，但在一些省市的统考中已有所体现，随着新课标的实施，在以后的高考中会有考的内容（如2010年高考新课标卷第19题）.统计案例主要考查回归直线方程(如例4)、独立性检验(如例4的变式引申).
⑵通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差；平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定．
⑶在解决具体问题时，要先进行相关性检验(有时可绘制散点图来判断)，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系，若它们之间具有相关关系，再求回归方程.
⑷对于相关系数r来说, |r|≤1,并且|r|越接近于1,两个变量的线性相关程度越强; |r|越接近于0,两个变量的线性相关程度越弱.当|r|大于0.75时,我们认为x与Y有很强的线性相关关系,这时求回归直线方程有必要也有意义,否则,在|r|<0.75时,寻找回归直线方程就没有意义.如果低于，就认为没有充分的证据说明变量和是有关系．
⑸统计与统计案例中，很多数据都是图、表的形式给出，要善于看图、作图、理解图所传递的信息，对数据的精确处理要有较强的计算能力.
⑹因为这几年的高考应用题基本都落实在概率统计的内容上，另一方面，这部分内容本身和实际联系较多，所以我们在复习中加强培养学生的应用意识.[来源: ]
习题4-3
.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图4-3-4是根据抽样检测后的
产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),
[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且
小于104克的产品的个数是( ).
A.90 B.75 C. 60 D.45
2．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②回归方程＝bx＋a必过点(，)；
③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是 90%.
其中错误的是________．
.如图4-3-5，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）
4．一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间由如下一组数据：
x
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
1.98
2.07
y
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
3.36
3.50
（1）画出散点图；
（2）检验相关系数r的显著性水平；
（3）求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程.
5．（2010新课标第19题）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
第四节 概率与统计的综合应用
概率与统计内容在高考中会出现一道大题和1～2道小题，占分大约17～22分，占整个高考的15％左右，试题的难度为中等偏易或中等，试题特点是小题更加注重基础，大题更加注重能力，通过对课本知识的重新组合，考查概率与统计内容的要点知识和典型方法，是高考卷中的主流应用题的备考点．
考试要求：
（1）掌握概率与统计的基本概念．（2）掌握几种典型概型、分布列及计算公式．（3）掌握统计及统计案例的典型问题．（4）能抓住与各模块知识的联系，解决概率与统计的综合应用问题．
题型一 概率与排列组合
例1 在1，2，3，4，5的所有排列中，
（1）求满足的概率；
（2）记为某一排列中满足的个数，求的分布列和数学期望．
点拨：涉及几个量的联系，不容易一下考虑清楚，列举分类解决问题．
解：（1）所有的排列种数有个．满足的排列中，若取集合中的元素，取集合中的元素，都符合要求，有个．若取集合中的元素，取集合中的元素，这时符合要求的排列只有；；；共4个．
故满足的概率．
（2）随机变量可以取．
，，，
，．
故的分布列为
0
1
2
3
5
的数学期望．…………14分
易错点：涉及到的数字较多，大小交叉，分类计算时容易错．
变式与引申1：由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．
（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得”的概率；
（2）记为组成这个数的相同数字的个数的最大值，求的分布列和期望．
题型二 概率与方程不等式
例2 一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．
（2 ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
点拨：关键是设定未知量，将问题还原成常见的概率类型，第一问结合目标设袋中白球的个数为．第二问针对黑球的概率设置问题，因而设袋中有个黑球，且总球数为．
解：（1）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．故白球有5个．
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是
0
1
2
3
的数学期望 ．
（2）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，
所以，，故．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则
．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
易错点：审题忽略关键词，变量设定不科学．计算与分析讨论易出错．
变式与引申2：在一个盒子中有个球，其中2个球的标号是不同的偶数，其余n个球的标号是不同的奇数．甲乙两人同时从盒子中各取出2个球，若这4个球的标号之和为奇数，则甲胜；若这4个球的标号之和为偶数，则乙胜．规定：胜者得2分，负者得0分．
（1）当时，求甲的得分的分布列和期望；
（2）当乙胜概率为的值．
题型三 概率与函数
例3 袋中有红球和白球共100个，从这只袋中任取3只，问袋中有几个红球时，使取得的3个球全为同色的概率最小？
点拨：设红球或者白球个数，构造函数模型解题．
解：设分别为红球，白球的个数，则有，从100个球中任取3个球，全为红色球的概率为；从100个球中任取3个球全为白色的概率为，所以取得3个同色球的概率为
=
==；
时，最小，此时．
易错点：设元列式解题时，化简过程出错．
变式与引申3：某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0．4
中
0．4
差
0．2
设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量表示当产量为时市场前景无法确定的利润．
（1）分别求利润与产量的函数关系式；
（2）当产量确定时，求期望；
（3）试问产量取何值时，取得最大值．
题型四 概率与数列
例4 甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数时,原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数时,就由对方接着掷．第一次由甲开始掷,若第n次由甲掷的概率为,
（1）求甲抛掷一次的点数之和为3的倍数的概率；
（2）求．
点拨：第n+1次由甲掷这一事件，包含两类：第n次由甲掷和第n次由乙掷；构造数列模型解题．
解：（1）因抛抛两颗骰子出现的点数为：1、2、3、4、5、6,
其点数和为3的倍数的情况有：(1,2), (2,1), (3,3), (3,6), (6,3), (6,6), (2,6), (6,2), (4,5), (5,4), (1,5), (5,1)共12种可能．
甲掷出的点数之和为3的倍数的概率为
（2）第n+1次由甲掷这一事件,包含两类：
①第n次由甲掷,第n+1次继续由甲掷,概率为：,
②第n次由乙掷,第n+1次由甲掷,概率为：(1－)(1－),
从而有 ＝＋(1－)(1－) ,即＝－＋ （其中=1）,
即－=－(－)于是－=(－)·(－, 即=+·(－
易错点：不能正确找到与的关系．
变式与引申4：从原点出发的某质点，按照向量移动的概率为，按照向量移动的概率为，设可到达点的概率为．
（1）求概率、；
（2）求 与、 的关系并证明数列是等比数列；
（3）求．
本节考查：
在高考解答题中，常常是将概率与统计内容与其它知识内容交汇在一起进行考查，主要考查综合理解能力计算能力．此类问题一般都同时涉及多个知识点，它们相互交织在一起，难度较大，解答此类题时，要在透彻理解各类事件、各个知识内容的基础上，准确把题目含义，将问题进行分解，特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．概率与方程、不等式、函数等知识的综合应用题，通过对课本原题进行改编，对基础知识的重新组合、变式和拓展，解题时，应注意各知识要点的联系及列举法、分类讨论与正难则反思想方法运用．
点 评：
随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的一种类型．在复习备考中，注意掌握概率与统计的基本概念，对于一些容易混淆的概念，应注意弄清它们之间的联系与区别；掌握几种典型概型、分布列及计算公式，体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法，特别明确(1)计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确计算事件A所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件A所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积．(2)在古典概型问题中，有时需要注意区分试验过程是有序还是无序；在几何概型问题中需注意先判断基本事件是否是“等可能”的．(3)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果；掌握统计及统计案例的典型问题，注意理解抽样、数据分析、求线性回归方程的方法，回归分析方法，独立性检验的方法及其应用问题；能抓住知识的综合联系解决实际应用问题．
习题4—4
1、某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
（3）从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率．
2、在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．
(Ⅰ)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望．
3、质点位于数轴处，质点位于处.这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为，向右移动的概率为．[来源:]
（1）求3秒后，质点位于点处的概率；
（2）求2秒后，质点同时在点处的概率；
（3）假若质点在两处之间移动，并满足：当质点在处时，1秒后必移到处；当质点在处，1秒后分别以的概率停留在处或移动到处，今质点在处，求8秒后质点在处的概率．
4、一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（1）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（2）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？
5、已知三个正数满足．
(1)若是从中任取的三个数,求能构成三角形三边长的概率;
(2)若是从中任取的三个数,求能构成三角形三边长的概率．
第四讲 测试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记向量=(m,n)与向量=(1,-1)的夹角为θ，则的概率是（ ）
A. B. C. D.
2.若采用简单随机抽样从含有10个个体的总本中抽取一个容量为3的样本，这个总体中的个体a前两次未抽到，第三次被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为（ ）
A. B． C． D．
4．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为 （ ）
A．60 B．48 C． 30 D． 20
5．在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右.下列说法正确的是（ ）
A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定 B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定 C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定 D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定
6. 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）
A．96 B．48 C．24 D．0
7. 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
8.随机变量的概率分布列为，其中a为常数，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
9. 从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于９的概率为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．若关于x，y的方程组有解，且所有解都是整数，则有序数对（a,b）的数目为 （ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分．把答案填在题中横线上．
11．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是
12. 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为
13. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示).
14．集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m>n的概率是________．
15.向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．
三、解答题：本大题共75分．解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤．
16．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。
（1）求第一天通过检查的概率；
（2）若的第三项的二项式系数为，求第二天通过检查的概率；
17. 在2010年春运期间，一名大学生要从上海回到南昌老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。
（1）求这名大学生先去买火车票的概率；
（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为的期望值。
18．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（1）回归直线方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
19．某社区举办上海世博会知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有上海世博会吉祥物“海宝”图案或会徽图案，要求4人中一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张吉祥物“海宝”图案卡才能得到奖并终止游戏。
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张会徽图案卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是会徽图案卡的概率为，请你回答有几张会徽图案卡呢？
（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。
20．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155 cm到195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；
(2)求第六组、第七组的频率并画出完整频率分布直方图；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x－y|≤5”的事件的概率．
21．把一根长度为7的铁丝截成3段．
（１）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；
（２）如果把铁丝截成2，2，3的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次数为，求与；
（３）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．
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