第一节 初等函数 函数是高中知识的主干知识，是高中知识的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.5～0.8之间. 考试要求： ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数与对数函数互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质. 题型一 判定初等函数的性质 例1 求函数的值域. 点拔 函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令得，本题 就转化为求，的值域. 三次函数求值域常用导数的方法. 解 ,则,∴, 由,得或；由,，得，列表： t     1   0  0      减函数 有极小值 增函数   函数有极小值 又,,∴. 易错点 ①令，忽略了；②错误地认为最值一定在端点处取得. 变式与引申1： （2010江西文第6题） 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 题型二 抽象函数的性质 例2 已知函数对任意实数都有，且当时， ，求在上的值域. 点拔 此题是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如，由此 猜想抽象函数在是递增函数，再用定义证明递增.：设，且，则，再利用判断与的大小关系.下面只要求出的值就行. 解 设，且，则，由条件当时， 又 为增函数， 令得，再令用得出, 令 得 上的值域为 易错点 利用性质“当时，”证明单调性，易出错. 变式与引申2： 设函数y=是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数有；②当时，；③ . (1)求的值; （2）证明上是减函数. 题型三 函数奇偶性的判断 例3 判断函数的奇偶性. 点拔 利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则 为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证与的关系，若（或）则为偶函数；若 （或）则为奇函数.当难于得出和 的时候，可以考虑验证特殊值. 解 当时，为偶函数； 当时，, ∵,∴；∵,，,∴既不是奇函数也不是偶函数. 易错点 ①用定义判断奇偶性时，容易漏掉的情况. ②的情况难于得出与的关系，易出错. 变式与引申3： 设为实数，函数．讨论的奇偶性. 题型四 函数思想的应用 例4 关于 x的方程有四个不同的解，求的取值范围. 点拔 此题有多种思考方法：法1： 原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一 元二次方程：和.原方程有四个不同的解，等价于有2个不等的正解，且有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题. 法2：把原方程看作是关于的一元二次方程，则令，则原问题等价于有2个不等的正数解. 法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：，问题等价于函数和的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形： 解 法1 有四个不同的解等价于有2个不等的正解， 且有2个不同的负数解. 有2个不等的正解 有2个不同的负数解 综上所述：. 法2 令则原问题等价于有2个不等的正数解. . 法3 在同一直角坐标系内画出直线与曲线的图像，如图观图可知， 的取值必须满足,解得. 易错点 ①作为二次方程分类，运算量大，易出错; ②易忽略; ③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.. 变式与引申4： (2009山东理)若函数有两个零点，则实数a的取值范围是. 本节主要考查 ①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；③熟练作出初等函数的图像利用数形结合；④函数思想. 点评 （1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初 等函数； ③求出中间变量的范围. （2）求定义域的常用方法: 根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是： ①分式分母不为；②偶次方根的被开放数不能小于；③对数函数的真数大于,底数大于且不等于1； ④终边在轴上的角的正切没有意义；⑤没有意义；⑥复合函数的定义域，要保证内函数的值域是外函数的定义域. （3）求值域的常用方法:①观察法；②配方法；③导数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合法； ⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法. （4）判断函数奇偶性的步骤： 习题1—1 1. 函数的图象( ). A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 2. 已知函数的值域是,则实数的取值范围是________________． 3. 已知定义域为的函数是奇函数，求的值. 4. 定义在上的函数,,当时,,且对任意的、,有. （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的,恒有； 5. 设函数.试讨论关于的方程:在区间上的根的个数. 第二节 导数与积分 导数是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的各省高考试题,导数的考题分两个层次. （1）知识性试题 以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向（其中多项式函数一般不超过三次，以e为底的对数函数较多）. （2）综合性试题导数与不等式、导数与数列常是高考压轴题，同时考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，尤其是分类讨论思想，是近三年来高考命题的热点.难度值一般控制在之间. 考试要求 ⑴了解导数概念的实际背景；⑵理解导数的几何意义；⑶能求简单的复合函数的导数；⑷能用导数研究单调性,会求函数的单调区间；⑸了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件,会求极大值、极小值及闭区间上的最值；⑹会利用导数解决某些实际问题；（7）了解定积分的实际思想、基本思想及概念，了解微积分基本定理. 题型一 导数的几何意义、极值理论及单调性质等 例题1 给定两个函数解决下列问题： （I）若在处取得极大值，求函数的单调区间； （Ⅱ）若在区间为增函数，求的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于的方程有三个不同的根，求的取值范围. 点拔:第（I）小题在处取得极大值，即知，能解决函数所含参数，进而求单调区间.第（Ⅱ）小题是运用导数研究函数单调性求参数的逆向问题,即求导函数的函数值在区间上恒大于,进而转化为不等式的恒成立求函数最值.第（Ⅲ）小题可将问题转化为函数的图象与轴有三个不同的交点,通过导数讨论函数的单调性与极值,利用数形结合求解. 解:（I）因为在处取得极值,所以.故.所以.易知函数单调增区间是;单调递减区间是. （Ⅱ）由题意可知,因为在区间（2，+）为增函数,所以在区间上恒成立,即恒成立.由于,所以,故. （Ⅲ）设故 .令，得，由（Ⅱ）知. ①当时，，在上是单调递增，显然不合题意. ②当时,随的变化情况如下表：     1    + 0 — 0 +    极大值  极小值   欲使方程有三个不同的根，即函数与轴有三个不同的交点，则有，解得. 综上，的取值范围是. 易错点:①本题中在不同区间单调时用“和”,而不能用“”连接.②恒成立问题分离 变量易错求是.③通过导数讨论函数的单调性与极值,并利用数形结合求 解,学生难以掌握. 变式与延申1： (2010江西考试大纲调研卷七第21题)函数的图象如图所示. ⑴若函数在处的切线方程为 ⑵求函数的解析式；在（1）条件下，是否存在实数，使得的图 象与的图象有且只有在三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型二 导数与不等式 例题2 （2010新课标全国卷第21题）设函数. (1)若求的单调区间; (2)若时,求的取值范围. 点拔:本题主要考查导数与不等式的相关知识,主要涉及利用导数判断函数的单调性,由(1)可得出的不等式(此不等式较隐蔽,有时甚至需要构造函数以便产生这样的不等式),是本小题的突破口,然后讨论参数的取值对导函数值符号的影响.分类讨论思想在此应用甚为关键. 解:(1) 时, 当当 故在单调减少,在单调增加. (2) .由(1)知当且仅当时等号成立.故,从而当即时, ,而,于是当时, .又由可得,从而当时, 故当时, ,而,于是当,,综合得的取值范围为 易错点: ①第(2)小题利用导数求的最小值,但方程难以求解;②对(1)式提供的不等式使用意识较低;③需强化分类讨论思想方法在解决含参不等式中的应用. 变式与延申2： （2010湖北卷第21题）已知函数级的图象在点处的切线方程为. (1)用表示出; (2)若在上恒成立,求的取值范围; (3) 题型三 导数与数列 例题3 （2010湖南卷第21题）数列中，是函数的极值点. （1）当时，求通项； （2）是否存在，使数列是等比数列？若存在的取值范围；若不存在，请说明理由. 点拔:本题导数的使用有如用药的“药引”，由极值的讨论唤出了的数列系列问题.由题明确求数列通项的本质是找递推式,而题中的递推式变化较大，应细致讨论.第(2)问中构造函数,利用导数将不等式的恒成立转化为求函数最值. 解:易知,令 ①    故在 ② ③. (1)当时,,则.由①知, . 因,则由①知,.因为则由②知, ,又因为则由②知, .由此猜想:当时,. 下面用数学归纳法证明:当时, 事实上,当时,由前面的讨论知结论成立. 假设当时, 成立,则由②知,,从而 ,所以.所以当时,成立. 于是由②知,当,,而因此 (2)存在，使数列是等比数列.事实上,由②知,若对任意的,都有,则,即数列是首项为,公比为的等比数列,且.而要使,即对一切都成立,只需对一切都成立.记，则. 令,因此,当时,,从而函数在上单调递减,故当,数列单调递减,即数列中最大项为,于是当时,必有,这说明,当时, 数列是等比数列. 当时,可得,由③知,无极值,不合题意. 当,可得数列不是等比数列. 当时, 由③知,无极值,不合题意. 当可得数列不是等比数列. 综上,存在，使数列是等比数列,且 易错点:①多情况的分类讨论;②知识和方法较为综合. 变式与延申3： 当正整数时,比较与的大小.（本题可将去掉,供思考） 题型四 导数与积分 例题4 （2010福建卷第20题）（Ⅰ）已知函数，其图象记为曲线C. （i）求函数的单调区间； （ii）证明：若对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明. 点拔:需把握好两点：一是定积分上下限的确定；二是降维思想的应用，寻求上下限变量之间的关系，其他变量全用变量表示.另外本题对运算能力要求，计算时需谨慎，力求每步精确. 解法一（Ⅰ）（i）由得=， 当和时，； 当时，， 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （ii）曲线C与其在点处的切线方程为，即，由，得即，解得或，故，进而有，用替代，重复上述计算过程，可得和，又，所以，因此. （II）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值； 证明： 因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（Ⅰ）（ii）计算可得，因此 解法二(Ⅰ)同解法一 （II）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值； 证明：由得，所以曲线在点处的切线方程方程为， 由，得， 化简：得到，，即，故 =，用代替，重复上述过程，可得和 所以 易错点:①本题思维量较小，但由积分公式计算面积，字母计算的整体代换等运算求解能力要求较高，不容易正确；②对曲线的对称中心会有理解障碍，影响化归与转化思想应用. 变式与延申4： 已知通过点，与有一个交点，且,. （1）求与所围的面积S. （2）,为何值时，S取得最小值. 本节主要考查：（1）求切线方程，讨论单调性，求极值和最值，导数与不等式问题，利用积分计算图形面积.（2）构造函数，证明不等式. 函数含参时，不等式有解或恒成立转化为求函数最值或对参数进行分类讨论. 讨论极值点位置时用到根的分布知识.（3）考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，尤其是分类讨论思想，是近年来高考命题的热点. 点评: 导数的思想方法和基本理论能在的许多问题上起到居高临下和化繁为简的作用.备考应注意以下几个方面: (1)导数的意义:变化率和切线的斜率,能够设切点坐标求切线方程.函数的单调区间和函数在某区间单调的区别； (2)导数作为工具使用:如利用单调性求最值、证明不等式、解决数列、解决不等式恒立或方程解等问题；(3)注意各小题之间的承接与提示作用，以及以为底的指对数与一次多项式之间的不等关系(如例2中)； (4) 积分是大学内容的下放,要求能对公式进行应用,求面积方面问题较多. (5) 注重导数与其他知识的交汇,重点知识重点抓,使常见数学思想方法融会贯通. 习题1-2 1．已知= .[来源:] 2．(2010北京卷第18题)已知函数 (Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，)处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间. 3.（2008江苏卷第14题）设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值. 4．设. （I）判断函数的单调性； （Ⅱ）是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求证：，（其中为自然对数的底数）. 5．已知二次函数，直线，直线 （其中，为常数）；.若直线1、2与函数的图象以及 、轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示. （Ⅰ）求、、的值； （Ⅱ）求阴影面积关于的函数的解析式； （Ⅲ）若问是否存在实数，使得的图象与 的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不 存在，说明理由. 第三节 函数的单调性、最值和极值 函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在0.3～0.6之间. 考试要求：①理解函数单调性的概念；②能判断简单函数的单调性；③能求函数的最大（小）值；④掌握基本初等函数的单调性和最值；⑤数形结合思想；⑥函数思想. 题型一：已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值. 例1 （2010年江西文科卷第17题） 设函数. （1）若的两个极值点为且，求实数的值； （2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 点拔：因为是三次函数，所以只要①利用“极值点的根”，转化为一元二次方程根的问题；②利用在上单调＞0（＜0），转化为判断一元二次函数图像能否在轴上方的问题. 解： （1）由已知有，从而,所以； （2）由，得总有两个不等的实根，不恒大于零，所以不存在实数，使得是上的单调函数. 易错点：①三次函数的极值点与原函数的导数关系不清； ②含参变量的问题是逆向思维，学生易出现错误； ③学生不会将在上是单调函数的问题转化为恒成立问题. 变式与引申1：已知函数 （1）若在区间上是增函数，求的取值范围； （2）求在区间上的最大值. 题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围. 例2 （2010年全国文科卷第21题） 已知函数 （1）设，求的单调区间； （2）设在区间(2,3)上有一个极值点，求的取值范围. 点拔：第（1）问中，即为一个三次函数求单调区间问题：先求导，再解不等式，最后得出结论.第（2）问利用“极值点”的根转化为一元二次方程根的分布问题. 解：（1）当时, . 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在单调递增. 综上，的单调增区间是和,的单调减区间是. （2）解法一：，. 当，即时，,为增函数,故无极值点. 当，即时，有两个根，. 由题意知 ① 或 ② ①式无解,②式的解为. 因此的取值范围. 解法二：,由题意的必有一根在(2,3)上, 故,即,解得.因此的取值范围. 易错点：①单调增区间易误写成；②解不等式出错；③第（2）问的解法一，不易分析. 变式与引申2：将（2）中改为“在区间(2,3)上有两个极值点”，或改为“存在极值点，但在区间(2,3)上没有极值点”，如何求的取值范围？ 题型三：函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题 例3 设函数，已知和为的极值点． （1）求和的值； （2）讨论的单调性； （3）设，试比较与的大小． 点拔：此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数与的大小，可构造新函数，再通过分析函数的单调性来讨论与0的大小关系. 解：（1）因为， 又和为的极值点，所以， 因此解方程组得，． （2）因为，，所以， 令，解得，，． 因为当时，；当时，． 所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的． （3）由（1）可知，故， 令，则．令，得， 因为时，，所以在上单调递减． 故时，； 因为时，，所以在上单调递增． 故时，． 所以对任意，恒有，又，因此， 故对任意，恒有． 易错点：①求导数时，易出错；②比较两个函数的大小属于不等式问题，学生容易只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析. 变式与引申3：将第（3）问改为：设，试证恒成立． 题型四：函数的单调性、最（极）值问题的综合应用 例4 （2010年浙江文科卷第21题） 已知函数. （1）当时，求曲线在点（2，）处的切线方程； （2）设是的两个极值点，是的一个零点，且，，求证：存在实数，使得按某种顺序排列后成等差数列，并求. 点拔：本题为函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识的综合运用；分析第（2）时应从先，来确定，再用等差中项的性质求出确定，同时确定的顺序. 解：（1）当时，因为=（x－1）（3x－5），故，， 所以在点（2,0）处的切线方程为. （2）证明：因为＝3（x－a）（x－）， 由于，故. 所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝.[ 不妨设x1＝a，x2＝，因为，，且x3是f（x）的零点，故x3＝b. 又因为－a＝2（b－），x4＝（a＋）＝， 所以a，，，b依次成等差数列.所以存在实数x4满足题意，且x4＝. 易错点：学生遇到综合类问题容易出现知识上的漏洞. 变式与引申4：（2010年浙江理科卷第22题）已知是给定的实常数，设函数 ，，是的一个极大值点． (Ⅰ)求的取值范围； (Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由． 本节主要考查： （1）函数单调性； （2）单调性、极值点与导数的关系； （3）函数思想； （4）数形结合思想. 点评：（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； （2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等； （3）利用求导的方法研究函数的单调性、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值.需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.[来源: ] 习题1—3 1.（2010年全国文科卷I第7题）已知函数.若且，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 2.已知函数的定义域均为非负实数集，对任意的，规定  . 3.（2009年浙江文科卷第21题）已知函数． （1）若函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值； （2）若函数在区间（1，1）上不单调，求a的取值范围． 4.（2010年陕西文科卷第21题）已知函数，. （I）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （II）设函数，当)存在最小值时，求其最小值的解析式； （III）对（2）中的，证明：当时，1. 5.（2009届惠州市高三文科第一次调研）设函数，其中为常数． （1）当时，判断函数在定义域上的单调性； （2）时，求的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立． 第四节 函数的综合应用(1) 函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现. 考试要求 （1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 题型一 函数解析式问题 例 ⑴（2010陕西文数）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为 A y＝[] B y＝[] C y＝[] D y＝[] ⑵设函数若方程有四个不同的实数解， 若方程g(x)=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________________. 点拨：⑴用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合；（2）在同一坐标系中画出和的图象，再根据题意画出，根据图象得出a的取值范围. 解：⑴法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B 法二：设， ，所以选B ⑵在坐标系中作出和的图象，可知图象如图所示， 故a的取值范围是. 易错点：⑴对抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误； ⑵正确理解解析式所表示的意义是解题的关键，如果讨论和的大小再得出的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是容易出错. 变式与引申1： （１）设函数若,则关于x的方程的解的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 （２） 设函数由方程确定，下列结论正确的是.（请将你认为正确的序号都填上） （１）是上的单调递减函数；[来源: ] （２）对于任意，恒成立； （３）对于任意，关于的方程都有解； 题型二 函数的性质与图象 例 已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则 点拨：由求出的周期，又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增函数，得出在一个周期[-2,2]中的单调性，再根据对称性求值. 解：因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设,由对称性知,.所以. 易错点：对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等. 变式与引申2： （１）函数的图象的大致形状是 ( )  （2）设函数的集合， 平面上点的集合 ， 则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 题型三 函数零点与二分法思想 例 设函数 （1）当时，求函数在上的最大值； （2）记函数，若函数有零点，求的取值范围. 点拨：（1）这是一道含绝对值的函数题，对与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数有零点转化为方程有解，用导数求出该函数的值域得出的取值范围. 解：（1）当时，＝ ∴当时， 当时，＝ ∵函数在上单调递增 ∴ 由得又 ∴当时，，当时，. （2）函数有零点即方程有解，得. 令， 当时，， 所以函数在上是增函数，； 当时，， 所以函数在上是减函数，. 所以方程有解时，即函数有零点时的取值范围. 易错点：（1）去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误；（2）零点问题不能转化成方程有解问题，从而不能使问题得到有效的解决. 变式与引申3： ⑴函数的零点一定位于下列哪个区间( ) A.  B. C. D.  ⑵已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是( )][来源: ] A． B． C． D． 题型四 函数与导数问题 例 已知函数． (1) 若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值 范围； (2)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 点拨：(1) 求曲线y=f(x)的切线的斜率就是对的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率-1；(2) g(x)是偶函数，只须求g(x)在[0,1]上最大值. 解：（1） ∵ ∴要使直线=0对任意的总不是曲线的切线，当且仅当-1<-3a,∴. （2）因在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值， ① 当时，，在上单调递增且, ∴，∴. ② 当时  i .当，即时，在上单调递增，此时 ii. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 10 当即时，在上单调递增，在上单调递减，故. 20当即时， （ⅰ）当即时，  （ⅱ） 当即时， 综上 易错点：本题第二问分类讨论比较多，计算量也很大，考虑不周都会产生错误. 变式与引申4： 已知函数，，和直线，又. （1）求的值； （2）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由． 本节主要考查：（1）函数的解析式和函数的图象，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数性质；（2）结合图象，直观地反映函数的性质，考查了数形结合的思想和基本的作图、运算、分析等解题能力；（3）零点和二分法体现了函数和方程的关系；（4）考查了用导数作为工具求曲线的切线和函数的最值等思想方法. 点评：（1）数形结合函数的性质是高考考查的重点内容．解决一些函数单调性和奇偶性，对称性等要从数形结合的角度去认识，以形辅数，以数画形，化抽象为直观；（2）要充分利用导数这一工具，结合函数的一些思考方法解决函数中的如求最大值和最小值等问题；（4）重视计算能力，画图能力及分类讨论的思想方法. 习题1-4 .已知[x]表示不超过实数x的最大整数，为取整函数， 的零点，则等于 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 .设函数，则的值为. 3．已知函数对任意的实数x,y都有且. (1)若,试求的表达式; (2)若且时,不等式成立,求实数的取值范围. 4．已知函数R，且 （1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求的解析式； （2）命题P：函数在区间上是增函数； 命题Q：函数是减函数 如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围； 5．（2010北京理数）已知函数()=In(1+)-+(≥0). (1)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (2)求()的单调区间. 第五节 函数的综合应用(2) 函数、导数、不等式等这三部分或它们的综合，在每年高考试题中都有大量出现，综合性都比较强，题目都有较高的难度；利用函数解不等式，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值等是考查的重点.特别今后，高考的应用题不一定是概率题，那么函数作为解决生活实际问题的重要方法，其应用题出现在高考试题中，并且可能常态化那也在情理之中. 考试要求 能结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极大值、极小值以及生活中的优化问题.能够利用函数解决一些生活实际问题. 题型一 函数与不等式[来源: ] 例 （1）（2010天津理数）已知函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 A （-1，0）∪（0，1） B （-∞，-1）∪（1,+∞） C （-1，0）∪（1,+∞） D （-∞，-1）∪（0,1） （2）（2010全国卷1理数）已知函数f(x)=|lgx|.若00对一切a > 0，恒成立.   由  令 在（0，4）内是增函数；  ∴h (a)在（4，6）内是减函数. ∴a = 4时，h(a)有极大值为96，上的最大值是96， ∴b的最大值是 （3）证法一：∵x1、x2是方程的两根， ，   证法二：∵x1、x2是方程的两根，.   ∵x1 < x < x2，    易错点：本题讨论、计算较多，不小心都容易出错，对问题的转化能力要求较高. 变式与引申3： （1）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围． （2）已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围； 题型四 函数应用题 例 2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即；9点20分作为第二个计算人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位. 对第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系（如图1-5-2）： ， 对第个时刻离开园区的人数和时间 （）满足以下关系（如图1-5-3）：  （1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？ （2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻. 点拨：（1）计算出入园游客总数与出园游客总数，其差就是所求；（2）当入园游客总数与出园游客总数之差最大，则游客总人数最多，按每段函数分别计算. 解：（1）当且时，， 当且时， 所以 ××； 另一方面，已经离开的游客总人数是： ×；……2分 所以（人） 故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有位游客. （2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减. (i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间； (ii)当时，令，得出， 即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多； 当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多； (iii)当时， 令时，， 即在下午点整时，园区人数达到最多. 此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. 易错点：（1）下午3点是哪个时段算不清出错； （2）不能读懂题意和看图，无从下手. 变式与引申：如图1-5-4，两铁路线垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲火车从A站出发，沿AC方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车以v千米/小时的速度从B站沿BA方向行驶致A站即停止前行（甲车仍继续行驶） （1）求甲，乙两车的最近距离（两车的车长忽略不计） （2）若甲，乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近所用时间为小时，问v为何值时最大？ 本节主要考查：函数与不等式、数列等知识的综合运用能力；考查了如何用导数求函数中含参数的与极值有关的综合题，考查了用函数如何建模，如何解决实际生活中出现的问题.考查了数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力. 点评：导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式或解决数列中的一些问题等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 习题1-5 .设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ） A. B.  C.  D.  .拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由（元）决定，其中m>0,是大于或等于m的最小整数，（如,），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 . .已知函数 (1) 求证: 函数是偶函数; (2) 判断函数分别在区间、上的单调性, 并加以证明; (3) 若, 求证:  .有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格: a b c d e f g h i j k l m  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  n o p q r s t u v w x y z  14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26   给出如下一个的变换公式: (x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除) +13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除) 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；5→=3，即e变成c. ①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？ ②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？ .已知函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的单调区间； （3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 第一讲 测试卷 一．选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设则( ) A.  B.  C.  D.  2． 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数. 例如，.[来源:] 那么“”是“”的 ( ) A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件? D.既不充分也不必要条件[来源: ] 3. 设函数 若是奇函数，则的值是 （ ） A.  B.  C.   D. 4 4．已知，则下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 5．在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．若函数的定义域R分成了四个单调区间，则实数满足 ( ) A. B. C. D. 7．设函数，集合，判断在上的奇偶性为（ ） A. 偶函数 B .奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 8. 定义在R上的函数满足，当x∈［3，5］时,=2－|x－4|，则（ ） A.＜ B. ＞ C.＞ D. ＜ 9. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A．  B．  C.  D.  10. 设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，则的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 7 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分．把答案填在题中横线上． 11．若函数有且仅有一个极值点，求实数的取值范围 12．定义在R上的函数， 则 ． 13. 已知f(x+)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____ 14．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数，则下列说法①在上是减函数；②的最大值是2；③方程有2个实数根；④在R上恒成立.正确的命题是 （写出所有正确命题的序号） 三．解答题 本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分）设是定义在上的函数，对一切均有，且当时，，求当时，的解析式． 17. （本小题满分12分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ （Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？ 18．（本小题满分12分）已知函数，（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在恒成立，求的取值范围； （3）讨论关于的方程的根的个数. 19. （本题满分12分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求证：（）．高 20. （本题满分13分）设函数     21．对于定义在D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间上有下界，把称为函数在上的“下界”. （1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”否则请说明理由；，  （2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间上有“上界”的定义； 并判断函数（）是否有“上界”？说明理由； （3）若函数在区间上既有“上界”又有“下界”，则称函数是区间上的“有界函数”，把“上界”减去 “下界”的差称为函数在上的“幅度”. 对于实数，试探究函数是否是上的“有界函数”？如果是，求出“幅度”的值.[来源:]
【点此下载】