主干知识整合
1．函数的零点
方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．二分法
用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
第二步：求区间[a，b]的中点c；
第三步：计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
3．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．
要点热点探究
探究点一 函数的零点和方程根的分布
例1 (1)[2011·天津卷] 对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C.∪
D.∪
(2)[2011·山东卷] 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
(1)B (2)2
【解析】 (1)f(x)＝
＝ [来源:]
则f(x)的图象如图．
∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，[来源:]
由图象知c≤－2，或－11>loga2，b－3<10)，
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以解得a＝2，b＝－2ln2.
(2)当a＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．
当a<0时，f′(x)＝x－>0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数．
因为f(1)＝>0，f＝e－1<0，所以方程有唯一解．
当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，
因为当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)在(0，)内为减函数；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)内为增函数．
所以当x＝时，有极小值，即最小值f()＝a－aln＝a(1－lna)，
当a∈(0，e)时，f()＝a (1－lna)>0，此方程无解；
当a＝e时，f()＝a(1－lna)＝0.此方程有唯一解x＝，
当a∈(e，＋∞)时，f()＝a(1－lna)<0，
因为f(1)＝>0且1<，所以方程f(x)＝0在区间(0，)上有唯一解，
因为当x>1时，(x－lnx)′>0，所以x－lnx>1，
所以x>lnx，f(x)＝x2－alnx>x2－ax.
因为2a>>1，所以f(2a)>(2a)2－2a2＝0，
所以方程f(x)＝0在区间(，＋∞)上有唯一解．
所以方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两解．
综上所述：当a∈[0，e)时，方程无解；当a<0或a＝e时，方程有唯一解；当a>e时方程有两解．
【点评】 含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值点的值的正负；三是区间端点的值的正负．
探究点二 二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程lnx＝在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是________．
【分析】 只要计算三个点x＝1,1.5,2的函数值，然后根据函数零点的存在定理进行判断即可．
[1.5,2] 【解析】 令f(x)＝lnx－，
f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－＝ln>ln1＝0，f(1.5)＝ln1.5－＝(ln1.53－2)；
因为1.53＝3.375，e2>4>1.53，故f(1.5)＝(ln1.53－2)<(lne2－2)＝0，f(1.5)·f(2)<0，所以下一个有根区间是[1.5,2]．
【点评】 用二分法求方程近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解，若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是和这个中点函数值异号的区间．在用二分法求方程的近似解时，有时需要根据精确度确定近似解，如下面的变式．
变式题：
若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.4375)＝0.162
f(1.40625)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
C 【解析】 由于f(1.40625)＝－0.054<0，f(1.4375)＝0.162>0，精确到0.1，所以函数的正数零点为x＝1.40625≈1.4，故选C.
探究点三 函数模型及其应用（含导数解决实际问题）
例3 [2011·湖南卷] 如图3－1，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；(2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d＝100，面积S＝时，
(1)写出y的表达式；
(2)设03，所以c－2>0，当r3－＝0时，r＝.
令＝m，则m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
当0时，当r＝m时，y′＝0；
当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0.
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3时，建造费用最小时r＝.[来源:]
规律技巧提炼
1．根据方程的解和函数零点的关系，可以把方程和函数联系起来，通过函数的零点研究方程根的分布以及采用逐步缩小方程根所在区间的方法求方程的近似解(二分法)，但在实际中我们一般是求方程解的个数、或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围，这时数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都是我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．
2．二分法求方程的近似解的依据是函数的零点存在定理，当把方程的一个根锁定在区间(a，b)上时，取区间的中点x＝，则下一个有根的区间就是根据函数的零点存在定理进行判断的，即在f的符号与f(a)，f(b)的值异号的区间内．
3．函数模型是一种重要的数学模型，解决函数建模的关键是找到一个影响求解目标的变量，使用这个变量把求解目标需要的量表达出来，这样就建立起了函数模型，然后通过研究这个函数的性质(单调性、最值、特殊点的函数值)等，对实际问题作出解释，其中研究函数的性质可以采用导数的方法．在解决实际应用问题的函数建模时，要注意根据问题的实际意义确定函数的定义域．
教师备用例题
备选理由：例1虽然难度不大，但很容易出错，就是忽视了x＝6也是函数的零点，选此题的目的是考查学习思维的缜密性；例2考查综合使用指数函数、对数函数图象分析问题的能力，以及综合使用函数、不等式的知识解决问题的能力；例3是建立一个分段函数模型，这是高考中重点考查的一类函数建模，从2011年高考情况看，函数的实际应用问题有成为命题热点的趋势，建议在二轮复习中加大函数建模和解模的训练．
例1 [2011·山东卷] 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】 B 当0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以当0≤x<2时，f(x)与x轴交点的横坐标为x1＝0，x2＝1.当2≤x<4时，0≤x－2<2，则f(x－2)＝(x－2)3－(x－2)，又周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，f(x)与x轴交点的横坐标为x3＝2，x4＝3；同理当4≤x≤6时，f(x)与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5，x7＝6，所以共有7个交点．
例2 若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的取值范围是( )[来源: ]
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(4，＋∞) D.
【解析】 B 如图所示，函数f(x)＝ax＋x－4的零点是函数y＝ax与函数y＝4－x图象交点A的横坐标，函数g(x)＝logax＋x－4的零点是函数y＝logax与函数y＝4－x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，直线y＝4－x与直线y＝x垂直，故直线y＝4－x与直线y＝x的交点为(2,2)，即是A，B的中点，所以m＋n＝4，所以＋＝(m＋n)＝≥1，当且仅当m＝n＝2时等号成立，此时只要a＝即可．故所求式子的取值范围是[1，＋∞)．
例3 某商场预计2011年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
(1)写出2011年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2011年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
【解答】 (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x.
验证x＝1符合，∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为
g(x)＝
即g(x)＝
当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0，当5
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