【同步教育信息】
一.教学内容：
导数及应用
二. 重点、难点：
1. 曲线的切线：如图，设曲线C是函数的图象，在曲线C上取点P（）及其邻近的点Q（，）。当点Q沿曲线C无限接近点P时（即），如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫曲线C在点P处的切线。设切线PT的倾斜角为，则当时，割线PQ的斜率的极限就是曲线在点P处的切线的斜率，即
注意：直线和曲线有惟一公共点时，不能将此直线叫曲线过该点的切线。如过抛物线顶点与其对称轴平行的直线就不是抛物线的切线。
2. 瞬时速度：已知做变速直线运动的质点的位移公式是，质点在任一时刻的瞬时速度是用的临近时间间隔的平均速度当时间间隔时的极限来定义，即。
3. 导数的定义：如果函数在处的增量与自变量的比值（叫在到之间的平均变化率），当时的极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为或。
若存在，则称在处左可导，此极限值称为在点处的左导数，记为。
若存在，则称在点处右可导，此极限值称为在处的右导数，记为。
存在的充要条件是：
若在区间（a，b）内的每一点的导数都存在，就说在区间（a，b）内可导，其导数也是（a，b）内的函数，又叫做的导函数，记作或。函数的导函数在时的函数值就是在处的导数。
4. 导数的几何意义：若在处可导，则就等于曲线在点P（）处的切线的斜率，相应地，切线方程为。
【例题分析】
例1. 若，则__________。
解：根据导数的定义，（此时，时，），
小结：注意中的形式的改变，在此题中即为。此题还可以写成或等形式，关键是形式的改变没有改变导数的实质。
例2. 求证：在处连续但不可导。
证明：可表示为
显然在区间（）及（）内是连续的。
又
故是的连续点，因此在内连续，但，而
不存在，即在处不可导
如图，当时，上每点处的切线斜率都为-1，而时，上每点处的切线斜率都为1
小结：连续性是函数可导的必要条件。实际上，从可导的定义中已保证当时，。这就是连续的实质。
例3. 已知抛物线与直线，求抛物线在与已知直线的交点处的切线方程。
解：联立和得交点为P（3，5）、Q（-2，0）
又，
抛物线在P（3，5）处的切线为；在Q（-2，0）处的切线为
小结：先求出交点，再求出导函数得到抛物线的导数，再分别求交点的导数值。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 若函数在可导，则错误的结论是（ ）
A. 在处必有定义
B. 在处必连续
C.
D.
2. 抛物线的切线中斜率为0的那条切线的切点坐标是（ ）
A. （1，1） B. （-1，1） C. （0，0） D. （0，1）
3. 曲线在点（）处的切线方程是，那么（ ）
A. B.
C. D. 不存在
4. 函数的定义域为A，其导数的定义域为B，则（ ）
A. B. C. D.
5. 曲线在点（3，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数，则在处（ ）
A. 不连续不可导 B. 连续但不可导
C. 连续且可导 D. 不连续但可导
二. 填空题：
1. 曲线在点P（1，0）处的切线方程是_________。
2. 一质点的运动方程是，则时的瞬时速度大小为__________。
3. 已知，则__________。
4. 已知，则__________。
5. 则_______。
6. 曲线在点P（1，4）处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程是____________。
三. 解答题：
1. 求曲线的切线，使它与直线平行。
2. 求过原点与曲线相切的切线方程。
3. 若是（a，b）内可导的奇函数，又不恒为0，求证：必是（a，b）内的偶函数。
【试题答案】
一. 选择题：
1. D 2. C 3. A 4. C 5. D 6. B
二. 填空题：
1.
2. 4
3.
4. 0
5. -1
6. 或
三. 解答题：
1. 令，故
曲线上任一点的切线的斜率为
由已知，即，因而，故切点为（1，-8），（-1，14），所以切线方程为和。
2.
设切点为，则
又切线过点O（0，0）及点P，故，因而，解得。
从而切线方程为。
3. 根据导数定义及已知，有，其中；
（其中）
故是内的偶函数。（注不恒为0，说明是偶函数但不是奇函数）
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