【同步教育信息】 一.教学内容： 集合与简易逻辑 【典型例题】 例1. 已知
：方程
有两个不相等的负实根；
：方程
无实根，如果
或
为真，
且
为假，求实数
的取值范围。 解：由
又由

而
或
为真，
且
为假等价于
和
中有且仅有一个为真，一个为假。 当
真
假时，有
当
假
真时，有
综上m的范围是
或
例2. 设
，求集合C，使它同时满足下列三个条件：（1）
，（2）
，（3）C有2个元素。 解：由
，
则

故
由（1）和（2）得
又由（3）知
例3. 设集合

，当
时，求
的取值范围。 解：由

由


即
由
则
例4. 已知集合

（1）当
取何值时，
含有两个元素。 （2）当
取何值时，
含有三个元素。 解：可以证明

的元素是下列方程组的解
故当
时，
当
时，

的元素是下列方程组的解
故当
时，
当
时，
（1）使
恰有两个元素，只有两种情形： （I）当
各有一个元素， 此时
，
（II）当
均有两个元素时， 此时
则
（2）使
恰有三个元素， 此时
为同一元素， 则

当
时
当
时
即当
时
恰有三个元素 例5. 设
（1）求使
的充要条件。 （2）在（1）条件下，满足
的最小值为0时，
能取的最大值和
能取的最小值。 解：（1）利用数形结合可知
恒成立 即对任意
，恒有
而此式成立的充要条件是
即

（2）由
故
令
代入
得
故
最大值为
又由

又由
故
的最小值为0。 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 设全集为U，A、B为U的子集，则下列命题中与
等价的有（ ） （1）
，（2）
，（3）
， （4）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知
：
，
：
的两根介于
和
之间，则
是
的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如果
A是B的充分而不必要条件，那么A是
B的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知
，
，
，其中
为正实数，则
同时成立是
成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也不必要条件 5. 已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则（1）M的元素都不是P的元素（2）M中有不属于P的元素（3）M中有P的元素（4）M中元素不都是P的元素中，真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知
，则当
时，
中的各元素之和为（ ） A. 1089 B. 990 C. 891 D. 792 二. 填空题： 7. 若不等式
对一切
都成立，则
的取值范围是_______。 8. 已知
，
，若
，则
_____。 9. “对任意实数
，不等式
成立，则
”的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题共_______个。 10. 已知P、Q都是R的必要条件，S是R的充分条件，Q是S的充分条件，则P是Q的________条件。 三. 解答题： 11. 已知：
，集合
，
（1）若
，求
的范围； （2）若
，求
的范围。 【试题答案】 一. 选择题： 1. D 2. A 提示：


3. B 提示：
A
但B

A

B
但

B 4. C 提示：

显然


，从对称性不妨设
，则
，故充要条件。 5. B提示：
6. C 提示：


中各元素之和
二. 填空题： 7.
提示：
当且仅当


故
时取等号 8. 3 提示：A：


（依题意
）
9. 3 提示：逆：对任
，若
，且
则不等式
恒成立 否：对任
，若不等式
不恒成立 则
逆否：对任意实数
若
则不等式

不恒成立。 10. 必要 提示：
三. 解答题： 解：（1）由

由

或
，故
则
，
由
当
时，
当
时，
（1）
的充要条件是
故当
时，

（2）

的充要条件是
即
故当
时，有

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