【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
平面及其基本性质，空间两条直线，直线与平面平行，垂直，直线与平面所成角，三垂线定理，两个平面平行的判定和性质，二面角，两个平面垂直，空间距离和角。
［主要知识点］
1. 知识结构如下图
立体几何第一章知识结构图
（垂直与平行）
2. 关于“平行”与“垂直”的判定
立体几何中关于“平行”关系的判定方法。（定义除外）
（一）判定直线a//b的方法
（二）直线a//平面M
（三）平面M//平面N
关于“垂直”关系的判定（除定义之外）
（一）直线a⊥b
（二）直线a⊥平面M
（1）定义
（三）平面M⊥平面N
线在面内：
（1）
3. 空间的角
异面直线所成的角：过空间任一点分别引两条异面直线的平行线，则此两相交直线所成的锐角（或直角）叫做两异面直线所成的角，其范围是
直线与平面所成的角，分三种情况：
1° 直线与平面斜交时，指直线和它在平面上的射影所成的锐角。
2° 直线与平面垂直时，定义为90°。
3° 直线和平面平行或直线在平面内时，定义为0°，故直线与平面所成角的范围：
二面角：
二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角须具有以下三个特点：
（1）顶点在棱上；（2）两边分别在两个半平面内；（3）与棱都垂直，其范围没有明确规定，一般取(0，π]。
关于求空间角的大小和二面角平面角的基本作法。
求空间角的大小一般分三步：
（1）找或作出角；（2）证明符合角的定义；（3）解三角形求大小。
二面角的平面角的基本作法：
（a）用定义；
（b）用三垂线定理或其逆定理。
（c）作棱的垂面，求二面角的大小还可以转化为用异面直线上两点间的距离公式或用面积射影公式。
4. 空间距离
空间距离包括：点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面。
求空间距离的一般方法为：一作、二证、三计算。
求空间距离的要求：
（1）对于异面直线的距离，高考中只要求会计算已给出公垂线的距离。
（2）求距离的难点一般在作出距离这一过程
（a）作距离时，当垂足的位置难于确定时，应擅于将距离进行转化。
（b）在作距离时，应充分利用图形的特点，利用面面垂直和三垂线等。
（3）充分利用体积法求距离。
【例题分析】
例1. 四面体ABCS中，SB、SA、SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，M为AB的中点，求：
（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。
解：
故SB是斜线BC在平面SAB上的射影
∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角，为60°
（2）连结SM、CM，则SM⊥AB，∵SC⊥AB
∴AB⊥平面SCM，作SH⊥CM于H
则AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面所成的角，易求出其正弦值为
小结：“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，却又是面ABC的斜线，而三垂线定理及逆定理均涉及一面四线，即一平面及垂线、斜线、射影及平面内另一线，恰当地选择平面及该平面的垂线，常常成为应用定理解决问题的关键。
例2. 已知三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直且长分别为a、b、c，设S’为S在底面ABC上的射影，求证：
（1）S’为ΔABC的垂心；
（2）S’在ΔABC内；
证明：（1）如图，连结CS’
∵SS’⊥平面ABC，S’C为斜线SC在底面ABC上的射影
∴AB⊥S’C
∴S’在AB边的高线上，同理可证AS’⊥BC
∴S’又在BC上的高线上
∴S’为ΔABC的垂心
（2）要证S’在ΔABC中，只要证ΔABC为锐角三角形即可，不妨设a≥b≥c
∴∠ACB为最大角，由余弦定理得
（3）延长CS’交AB于D，连结SD
例3. 圆的半径为R，正ΔABC的边长为，它们分别在互相垂直的平面内，其中三角形的一边在两平面的交线上，连结圆心O与三角形的中心G的线段与两个平面都成30°角，求三角形在交线上的边在圆内部分的长及GO与交线所成的角。
解：依题意画出图，设O与二平面的交线相交于E、F，正三角形BC边上的中点为D。在β内作OH⊥交线EF于H，连结GH、GD、OD
∵D是BC的中点，G是正ΔABC的中心
故∠GOD、∠OGH分别为OG与β、α所成的角，均为30°
故H在DB内部
从而E、B、H、D、F的排列顺序如图所示。题中所求的线段长为BF
为求GO与EF所成的角，可在β内过O作OQ//EF，作DQ⊥EF，设OQ、DQ相交于Q，则∠GOQ为所求。经计算易得∠GOQ＝45°。
小结：本例后一问为求角，所形成的图形是处理“二面角内夹线段”一类题目时常用的构图。图中出现了一个矩形和若干个互有关联的直角三角形，还交替出现了各种空间角与距离。这一构图的形成正是三垂线定理及其逆定理在其中作桥梁的原因。
例4. 如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若侧面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1。
证明：由已知正三棱柱，作C1D1⊥A1B1，则C1D1⊥平面A1ABB1，于是BD1为BC1在平面A1ABB1内的射影。
同样，作CD⊥AB，则A1D为A1C在平面A1ABB1内的射影
易知A1D//BD1
小结：三垂线定理及其逆定理均涉及一面四线，即一平面及垂线、斜线、射影及平面内另一线，恰当地选择平面及该平面的垂线，常常成为应用定理解决问题的关键。
例5. 如图，底面是等腰直角三角形的直三棱柱
，D是CC1的中点。
（1）求证：平面AB1D⊥平面AB1B。
（2）求二面角B—B1D—A的大小。
（1）证明：分别取AB、A1B1的中点E、G，连结EG，交AB1于F，连DF
（2）解：∵平面ADB1⊥平面ABB1A1，过B点在平面ABB1A1内作BM⊥AB1，则BM⊥面AB1D，过M作MN⊥B1D交B1D于N，则MN为斜线BN在平面ADB1上的射影。∴B1D⊥BN，∠BNM为二面角B—B1D—A的平面角。
小结：本题是应用三垂线作二面角平面角，选此题意在使学生通过此题的解证，掌握作二面角的平面角时，特别是要注意面面垂直关系以及平面的垂线。这是应用三垂线定理及逆定理的关键，也是作二面角平面角的重要途径。
例6. 如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC//D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a。
（1）求截面EAC的面积；
（2）求异面直线A1B1与AC之间的距离；
（3）求三棱锥B1—EAC的体积。
（1999年·全国高考）
解：（1）如图，连结DB交AC于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角
（2）由题设ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC
又A1A⊥A1B1
∴AA1是异面直线A1B1与AC间的公垂线
∵D1B//面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO
∴D1B//EO
又O是DB的中点
∴E是D1D的中点，D1B＝2EO＝2a
（3）解法一：如下图所示，连结D1B1
连结B1D交D1B于P，交EO于Q
∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高
解法二：连结B1O，则
在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如上图），则
小结：本题主要考查空间线面关系，二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。
【模拟试题】
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 过三点必有一个平面
C. 两平面有三个公共点，则它们必重合
D. 四边形一定是平面图形
2. 三个互不重合的平面把空间分成n个部分，则n可能取的值是____________
3. a、b、l是两两异面直线，a与b所成角是，l与a，l与b所成角都等于，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 三棱锥V—ABC中，高VH过底面的垂心，如果E、F、G分别是棱VA、VB、VC的中点，则___________
5. 设为斜线AB在平面上的射影，平面，AB和平面所成的角为，，则三者之间的关系是_____________
6. 直线m与平面间距离为d，那么到m与距离都等于2d的点的集合是（ ）
A. 一个平面 B. 一条直线
C. 两条直线 D. 空集
7. 是两个不同的平面，m、n是及之外的两条不同直线，给出四个结论：(1)；(2)；(3)；(4)，以其中三个论断为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________________。
8. PA垂直⊙O所在平面M，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，PA＝6，，则二面角是________，二面角是________
9. 已知：ABCD为边长是4的正方形，E、F分别为AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求B点到平面EFG的距离。
10. 已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，，，且。
（1）求侧棱与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求顶点C到侧面的距离。
（1998年·全国高考）
【试题答案】
1. B 2. 4，6，7，8 3. D 4.
5. 6. C
7. 或
8.
9. 解法一：连结BF、BG
又E、F分别为AB、AD中点
解法二：E、F分别为AB、AD的中点
B到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离
交于O，
，又平面，平面ABCD
平面GEF
面平面GCH，过O点作，则平面GEF，为O到平面GEF的距离，即等于B到面GEF的距离
，由解法一知
由，得
小结：点到平面的距离，线到平面的距离，面到面的距离可相互转化，利用平面互相垂直作距离也是经常用到的方法。
10. 解：（1）作，垂足为D，由面面ABC，得面ABC，为与面ABC所成的角。
即为所求
（2）作，垂足为E，连，则由面ABC，得面
是面与面ABC所成二面角的平面角
由已知得
又D是AC的中点，
故为所求
（3）连结，根据定义，点C到面的距离，即为三棱锥的高h
由
得
即
为所求
小结：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。
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