教学内容：
三角、向量综合复习训练
【模拟试题】
一. 选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的）。
1. 函数在上的最小值是（ ）。
A. B. C. D.
2. 已知，则函数的值域是（ ）。
A. B. C. D.
3. 若，且、满足关系式，则（ ）。
A. B. C. D.
4. 使函数为奇函数，且在上是减函数的一个值是（ ）。
A. B. C. D.
5. 如果，那么的值是（ ）。
A. 或不存在 B. 或 C. D.
6. 函数，的最大值是，则函数的值域是（ ）。
A. B. C. D.
7. 设向量，那么与平行的单位向量是（ ）。
A. 或 B.
C. 或 D.
8. 已知，把按向量平移后得到一个新向量，那么下面各向量中能与垂直的是（ ）。
A. B. C. D.
9. 在 中，（ ）。
A. B. C. D.
10. 设、、是任意非零平面向量，且相互不共线，那么
①
②
③
④ 若，且三向量两两所夹角相等，则中，是真命题的是（ ）。
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
11. 把函数的图象按向量平移后得到函数的图象。则向量是（ ）。
A. B. C. D.
12. 在中，三内角、、所对边长依次为、、，且面积
，则角为（ ）。
A. B. C. D.
二. 填空题（本大题共有4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）。
13. 。
14. 要得到函数的图象，只要将函数的图象 个单位长度。
15. 中三顶点坐标各是、、。若把边沿边平移后得到线段，在边上，且，则与有交点，那么线段 。
16. 在中，若三内角、、成等差数列，三边、、成等比数列，且，则 。
三. 解答题（本大题共有6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
17.（本小题满分10分）
求证：。
18.（本小题满分12分）
已知，求的值。
19.（本小题满分12分）
求函数的最大值和最小值，并求出取最小值时的值。
20.（本小题满分12分）
如图，是直角三角形，，内角、、所对各边为、、。利用向量知识解答下列问题。
（1）若CD是斜边AB上的中线，证明；
（2）若E是CD中点，连A、E并延长AE交BC于F，求AF的长度（用、表示）。
21.（本小题满分14分）
在海港A正东处有一小岛B。现甲船从A港出发以的速度驶向B岛。同时乙船以的速度向北偏西的方向驶离B岛，不久之后，丙船则向正东方向从B岛驶出。当甲乙两船相距最近时，在乙船观测发现丙船在乙船南偏东方向。问此时甲丙两船相距多远？
22.（本小题满分14分）
如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，AO=OC，BO=OD，又以DC边的中心P为圆心，DP长为半径作⊙P。用向量知识解答下列问题：
（1）证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）若⊙P的一直径MN两端可在圆周上滑动。问当直径MN在什么位置时，
取值最大？
【试题答案】
一. 选择题
1. C 2. D 3. A 4. B 5. A 6. A
7. C 8. B 9. D 10. D 11. B 12. C
二. 填空题
13.
14. 向左平行移动
15.
16.
三. 解答题
17.
证明：左边
右边。
∴ 原式成立。
18.
解：由已知得，两边平方变形得
，
，
，即
。 ①
原式
把①代入，得：原式。
另解：
??
把代入得：
上式
。
19.
解：原解析式化为。
设，则。
∴
。
∵ 而
∴ 时，有；
时，有。
令，得。
∴ 。
函数取最小值时，的值应是。
20.
（1）
证明：建立坐标系如图，设，，，则由中点坐标公式得，所以
，
∴，即。
（2）
解：利用（1）及中点坐标公式得。
设，
则，，
因为，（为常数）
∴
??∴ ，
即
21.
解：作示意图如右，设在行驶小时后，甲船到达C处，乙船到达D处，丙船到达E处。此时甲乙两船相距最近，依题意得：
。
∴ 当时，最小，即取到最小值，也即甲乙两船相距最近。
又作，则，，
∴ ，，
∴ 为等腰三角形，
∴
∴ 。
答：当甲乙两船相距最近时，甲丙两船相距21海里。
22.
（1）
证明：由已知得，，
则即。
所以//且。
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
（2）
解：连接A、P、B、P则
。
设，的延长线与AB的延长线交于E，，则
（，）
。
因为DP、PA、PB、AB长都是定值，所以当即时也即直径MN在与DC边重合的位置时，取值最大。
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