一.教学内容：
椭圆综合复习与训练
【典型例题】
[例1] 直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围。
解：由
则对恒成立对恒成立，又，则有对恒成立，故即，又由，所以
另解：令，则问题转化为直线与圆总有公共点，求的取值范围。
由点线距离公式，有对恒成立，下同解法1。
又解：利用数形结合，直线系恒过定点，直线与椭圆总有公共线等价于点在椭圆内部即又故
[例2] 已知椭圆和两点、，若线段AB和椭圆没有公共点，求的取值范围。
解：线段AB的方程为：，即代入椭圆方程，并整理得问题等价于该方程无实数解。令由对称轴又，故在上没有实根的充要条件是。或
，又，故或。
又法：利用数形结合，当椭圆分别过点A和点B时
故或
[例3] 已知椭圆和直线，试确定的范围，使椭圆上有两个不同的点关于直线对称。
解：设和是椭圆上关于直线对称的两点，则过A、B的直线方程可写成代入得
满足又，故AB中点为。
且在上，故代入得。
另解：由，相减得
由则 故 ，。设AB中点为，故。
又在上，则解得，。
又在椭圆内，故。
[例4] 若圆与椭圆有公共点，求圆的半径的取值范围。
解：由
令，则两曲线有公共点，在上有实根，而。故，在有实根
，又故。
又解：利用参数方程。由圆，椭圆：
两曲线有公共点 消去，
整理，得 当 时，，当时，。
[例5] 已知直线，椭圆中心在原点，焦点在轴上且离心率。若椭圆上恰有三点到的距离为，求椭圆的方程。
解：设椭圆方程为，由
故，于是椭圆方程为，即。
由与直线距离为的点的集合为两条平行于的直线，设为，由平行线距离公式，有或。
故与
显然椭圆与有两个公共点，故当且仅当与椭圆相切时满足条件，把代入并整理得
由
所以所求椭圆方程为
[例6] 在椭圆上求一点P，使它到直线的距离最短。
解：设与椭圆相切并与平行的直线方程为。
代入并整理，得
故两切线方程为和，显然距最近
切点为
另解：设椭圆的参数方程为（为参数）
设为椭圆上任意一点，则它到的距离为
其中，，
当时，，
（下同上）
[例7] 如图，已知椭圆，，，，，试问当动点P在上移动到什么位置时，三角形PCD的面积有最小值，求该最小值及此时P的坐标。
解：由已知，，故，且CD的方程为
即
设，则P到CD的距离为
其中，
当时，
故
此时的坐标为
即
另解：设与CD平行的直线的方程为代入
得
若与椭圆相切，则
则当时最小
与CD到距离，
于是
【模拟试题】
一. 选择题：
1. ，是直线与椭圆相切的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
2. 已知点P在椭圆上，则的最大值（ ）
A. B. C. D.
3. 点P在椭圆上，且到直线的距离为，则P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二. 填空：
4. 若直线与椭圆相交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线平分，则直线的倾斜角的范围是_________
5. 若曲线与曲线有公共点，则的取值范围是________。
三. 解答题：
6. 过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率的椭圆E交于A、B两点，直线过线段AB中点M，又椭圆E上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆E的方程。
【试题答案】
1. C
提示：
2. D
提示：
由
3. B
提示：设，由或
则得：或
则与椭圆相交与之相离。
4.
提示：
设
即，又代入得
或
5.
提示：
由
或或用参数方程
与联立得
即：
故：
6. 解：设椭圆，由，
。故椭圆，设的斜率为，则由可得，则的方程为即，关于的对称点在椭圆上，则，于是椭圆的方程为。
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