一.教学内容： 抛物线综合复习 【典型例题】 [例1] 抛物线方程为（），直线与轴的交点在抛物线的准线的右边。 （1）求证：直线与抛物线总有两个交点。 （2）设直线与抛物线的交点为、，，求关于的函数的表达式。 （3）在（）的条件下，若抛物线焦点到直线的距离为，求此直线的方程。（97. 上海） 解：（1）准线，直线与轴的交点为（），则，即。由， 而 又，及 则，得证。 （2）设，， 则，，由 即 又、为直线上的点 则， 于是 即 即 （由） （3）抛物线的焦点 于是  又，则 ，，， 但且，因而舍去、、故所求直线方程为。  [例2] 若抛物线（）总存在不同两点关于直线上的点对称 （1）求的集合。 （2）当点处于何位置时，两对称点以及坐标原点组成的三角形面积最大，并求此最大值。 解：（1）设抛物线上的两点为， 则，，两式相减 得 即 即 由在抛物线内部 （*）则 （或，也可利用下述方法求： ： 即 由 ） 故的坐标满足 即满足，，集合 （2），，（利用弦长公式） 则  。 当，即时，，。 [例3] 已知直线过坐标原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，若点和，关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程。（94全国） 解法一：设抛物线方程为（），依题意，直线不是轴、轴 设直线的方程为（），设、分别是点、关于直线的对称点，则，直线的方程为。 由，由点为的中点，则  同理可求得 由点、在抛物线上，其坐标满足方程   ，当时，不合题意 故，直线：， 由 （由） 故抛物线： 解法二：设以为终边的最小正角为， 则以为终边的角为， 于是， 故  于是， 所以 则的方程为 的倾斜角为  则方程  [例4] 设抛物线过定点，且以轴为准线， （1）试求抛物线顶点的轨迹的方程。 （2）若点不在线段（）上，那么取何值时，过点存在一对相互垂直的直线同时与曲线有公共点。 解：（1）设抛物线顶点，其中， 由抛物线以轴为准线则焦点，抛物线过定点 由抛物线定义有 化简整理得抛物线顶点的轨迹的方程为 （）（即不含原点） （2）设过点的直线的方程为 由消去并整理得 与有公共点  若过点存在一对相互垂直的直线同时与曲线有公共点， 则有解 即有解， 由不在线段（）上， 则，故， 从而故  故当或时， 过存在一对相互垂直的直线与曲线有公共点。  [例5] 抛物线（）的准线和焦点分别是椭圆的左准线和左焦点，直线和椭圆、抛物线在第一象限交于点A和点B，已知A是OB中点， （1）求椭圆的离心率。 （2）若椭圆过点，求椭圆和抛物线方程 （3）设椭圆短轴上端点为，求的轨迹方程。  解：（1）由  （负舍） 则，而为中点，则 由抛物线准线方程，又抛物线与椭圆有相同的左焦点和右准线 故椭圆离心率为 （2）设椭圆方程为，把代入得 ，而，则 又 所求椭圆方程为 又， 所以抛物线方程为 （3）椭圆上端点为，则 又，则 故 又由，则椭圆短轴上端点轨迹方程为（） 【模拟试题】 1. 若AB为抛物线（）的焦点弦，是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与的公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或2 2. 若抛物线的准线与双曲线的右准线重合，则的值为（ ） A. －2 B. 4 C. －8 D. 2 3. 抛物线（）上一点，M到焦点的距离为，那么M点到轴的距离为 。 4. 若，则方程的解的个数是 。 5. 已知抛物线与圆至少有一个公共点，则的取值范围 6. 已知直线的方程为（），椭圆的中心为，焦点在轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线的距离。 【试题答案】 1. B ，相切  2. B  由  3.  准线即，即为轴。 4.  由  5.  把代入 有 曲线至少有一个公共点至少有一个非负解，即 或 或 或 故  6. 解：椭圆方程为 ① 依题意椭圆上四个点的坐标都满足方程 ① 且满足抛物线方程 因此椭圆上四个点符合题意方程①、②组成的方程组有4个不同的实数解，把②代入①并整理得  ③ 方程组有4个不同的实数解③有两个不相等的正实根，即  在的条件下，解之得。  高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u
【点此下载】