平面解析几何各地试题集锦
【模拟试题】
平面解析几何部分
一. 选择题
1.（福建）直线：绕它与轴的交点逆时针旋转，所得到的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.（云南）直线与直线互相垂直，则的值等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
3.（黄冈）已知点与点是关于直线的对称点，那么直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.（南昌）已知一束光从点经轴正半轴反射到轴正半轴，再反射到点，这条光线经过的最短路程是（ ）
A. B. C. D.
5.（贵州）设圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则此圆半径的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.（成都）已知圆：和定点。若过点P作圆的切线有2条，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
7.（潍坊）以抛物线上一点P为圆心，经过坐标原点O，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
8.（辽宁）如果直线与圆C：有两个不同的交点，那么点P和圆C的位置关系是（ ）
A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不确定
9.（福州）设P是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10.（荆州）抛物线（为参数）的顶点在随圆上，这样的抛物线共有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
11.（北京西城）以原点为顶点，椭圆C：的左准线为准线的抛物线交椭圆C的右准线于A、B两点，则等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
12.（青岛）椭圆的准线平行于轴，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D. 且
13.（福州）已知抛物线上三点A、B、C，且A，AB⊥BC，当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14.（石家庄）若直线与抛物线的两个交点都在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15.（南昌）已知椭圆的两顶点A、B，右焦点为F，且F到直线AB的距离等于F到原点的距离，则椭圆的离心率满足（ ）
A. B. C. D.
16.（合肥）椭圆的离心率是，那么双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
17.（广州）过点M的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为P，设直线的斜率为、直线OP的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
18.（绵阳）抛物线上距离A最近的点恰好是顶点的充要条件是实数满足（ ）
A. B. C. D.
19.（临沂）已知椭圆的一条准线方程为，则实数的值为（ ）
A. 或 B. 4或12 C. 1或15 D. 0
20.（云南）圆锥曲线，（为参数）的离心率为（ ）
A. B. C. D.
21.（福建）若双曲线的参数方程为（为参数），则它们渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二. 填空题
1.（贵州）直线与圆，相交于A、B两点，那么过A、B两点且面积最小的圆的方程是 。
2.（北京海淀）A点是圆C：上任意一点，A点关于直线
的对称点也在圆C上，则实数 。
3.（荆州）过双曲线的一个顶点作垂直于实轴的直线，与双曲线的两条渐近线分别交于A、B，则等于 。
4.（青岛）曲线关于直线对称的曲线方程是 。
5.（信阳）双曲线关于直线对称的曲线的焦点坐标为 。
6.（北京西城）已知椭圆与双曲线（、、、）有共同的焦点、，P是椭圆和双曲线的一个交点，则 。
7.（郑州）双曲线的离心率，虚轴长为6，、分为它的左右焦点，过点的直线交双曲线的左支于A、B两点，且、、成等差数列，则 。
8.（临沂）P是双曲线上的一点，、是它的两个焦点，若，，则双曲线的离心率为 。
9.（重庆）椭圆的一条准线为，则其离心率为 。
10.（沂南）抛物线的准线与椭圆的短轴所在直线重合，则 。
三. 解答题
1.（云南）设中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，并且椭圆与圆
交于A、B两点，若线段AB的长等于圆的直径。
（1）求直线AB的方程； （2）求椭圆的方程。
2.（重庆）已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为，过点的直线交椭圆于P、Q，设PQ的中点为M，且OM的斜率为。若椭圆C上存在一点与右焦点关于直线PQ对称，求直线PQ和椭圆C的方程。
3.（北京西城）已知抛物线C的对称轴与轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在轴上截得的线段为原抛物线C在轴上截得的线段的一半，若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。
4.（孝感）设椭圆的方程为，直线与椭圆相交于A、B两点，点M是线段AB的中点，若以点M为焦点，椭圆的右准线为相应准线的双曲线和直线交于点N，且椭圆的离心率与双曲线的离心率之间满足。
求：（1）椭圆的离心率； （2）双曲线的方程。
5.（北京海淀）设正方形ABCD的外接圆的方程为，C、D点所在直线的斜率为。
（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；
（2）如果在轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程。
6.（北京崇文）已知抛物线C：的焦点是F，准线是。若抛物线C：
与其关于点对称的抛物线有两个不同的交点，且过这两个交点的直线的倾角为。
（1）求实数的值；
（2）若椭圆以抛物线C中的点F和为焦点和相应的准线，过点F作斜率为的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的另一焦点，当时，求椭圆的方程。
7.（广州）设抛物线C：上有两动点A、B（AB不垂直于轴），F为焦点，且，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0）。
（1）求抛物线C的方程； （2）求的面积的最大值。
8.（潍坊）已知椭圆C的离心率为，且点A是C上距离椭圆焦点F最近的点。
（1）求椭圆C的方程； （2）若与圆相切的直线交椭圆于M、N两点，满足（O为坐标原点），求直线的方程。
9.（成都）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点A，双曲线的一条渐近线平行于直线。
（1）求双曲线的标准方程。
（2）若、为此双曲线的左、右焦点，为左准线，能否在此双曲线左支上求一点P，使是P到的距离与的等比中项？若能够，则求出点P的坐标；若不能够，说明理由。
10.（福州）椭圆C的方程为，F是它的左焦点，M是椭圆C上的一个动点，O为坐标原点。
（1）求的重心G的轨迹方程；
（2）若的重心G对原点O和点P张成最大角，求点M的坐标。
11.（西安）设抛物线过定点A且以轴为准线。
（1）试求抛物线顶点M的轨迹C的方程；
（2）如果点P不在线段上，那么当取何值时，过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点？
12.（合肥）抛物线的准线和焦点分别是椭圆的左准线和左焦点，直线和椭圆、抛物线在第一象限交于A点和B点，已知A是OB中点。
（1）求椭圆的离心率； （2）求椭圆短轴上端点M的轨迹方程。
13.（沂南）一条变动的直线与椭圆交于P、Q两点，M是上的动点，满足关系，若直线在变动过程中始终保持其斜率等于1。求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状。
14.（北京西城）设椭圆的两焦点为、，长轴两端点为、。
（1）P是椭圆上一点，且，求的面积；
（2）若椭圆上存在一点Q，使，求椭圆离心率的取值范围。
15.（湖北）已知抛物线的准线与轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若AB的垂直平分线与轴交于E。
（1）求的取值范围。
（2）能否是等边三角形？若能，求的值；若不能，请说明理由。
16.（青岛）已知直线：和抛物线C：。
（1）当时，求点P关于直线的对称点Q的坐标，并判断Q是否在抛物线C上。
（2）当变化，且直线与抛物线C有公共点时，点M关于直线的对称点N。试写出关于的函数表达式及其定义域，并求出当点N在直线上时，的取值范围。
17.（北京东城）已知椭圆的一个顶点为A，焦点在轴上，其右焦点到直线
的距离为。
（1）求椭圆方程；
（2）椭圆与直线相交于不同的两点M、N，当时，求的取值范围。
18.（成都）设抛物线被直线截得的弦AB长为。
（1）求此抛物线的方程；
（2）设AB的中点为Q，当时，在抛物线上求一点M，使M到点Q的距离与M到准线距离之和最小。
19.（临沂）已知动点P与双曲线的两个焦点所连线段的长之和为定值，且这两条线段夹角余弦的最小值为。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在轴正半轴上是否存在点Q，使得点Q与该轨迹上点的最小距离为1。
20.（武汉）已知点F，上半平面内的点P到点F和轴的距离之和为。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设动点P的轨迹是C，曲线C交轴于点M，在曲线C上是否存在两点A、B，使？
（3）若A、B是曲线C上满足的两点，证明：直线AB与轴交于一定点。
【试题答案】
一. 选择题
1. A 2. D 3. D 4. A 5. A 6. D 7. B 8. A
9. A 10. D 11. D 12. B 13. A 14. A 15. A 16. D
17. D 18. C 19. C 20. C ?21. A
二. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. ； 6. 7. 8.
9. 10.
三. 解答题
1. （1）直线AB的方程为；（2）所求椭圆的方程为。
2. 解：∵ 椭圆的离心率， ∴ 。
∴ 椭圆的方程为。
设P、Q、M的坐标分别为，，，则，，两式相减，整理得
，
又， ∴ 。
故PQ的方程为。
设椭圆的右焦点F，它关于PQ的对称点为R，
则 解之得
代入椭圆方程得， ∴ ，。
故椭圆方程为。
3. 解：设所求抛物线方程为。
由题设条件得
解之得 或
∴ 抛物线方程为或。
4. （1）； （2）。
5. （1）M，，。
（2）抛物线方程为，直线的方程为。
6. （1）； （2）椭圆方程为。
7. （1）；（2）。
8. （1）椭圆C的方程为。 （2）直线满足。
9. （1）双曲线的方程为；
（2）假设满足题意的点P存在，设P，
∴ ，又，，
??????????????????∴ ，即。
??∴ 。解之，。
??∵ 左准线的方程，∴ ，
??∴ ，与矛盾。
∴ 这样的点P不存在。
10. （1）重心的轨迹方程为。
（2）由轨迹可知，，，
∴ P和O是椭圆Q的左右两焦点，设，，，。
∴
??∴ 。当且仅当时，等号成立。
?∴ 最大为直角，此时G，M。
11. （1）抛物线顶点M的轨迹方程为
（2）当时，过P点有一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点。
12. （1）设A，B
∵ 点B在抛物线上， ∴
??又 ，∴ 。 ∴ 焦点O、准线方程。
∴ 。
（2）设M是椭圆短轴上端点轨迹上任意一点，则。
∵ ，，，∴ 。
∴ 所求轨迹方程为。
13. 解：设动点M，动直线：，并设P，Q是方程组的解，消去，得
，其，
∴ 。，
故，。
由，得。也即。
于是有。
∵ ， ∴
由，得椭圆夹在直线间两段弧，且不包含端点。
由，得椭圆。
14. （1）设， 则，
由，，得。
代入面积公式，得。
（2）设，，点Q。
∵ ，∴ 。
∴ 。
∴ ，即
∴ ，解之，∴ 为所求。
15. （1）由题意得直线：，代入，得。
?∴ ，解之且。
?设方程两根、分为A、B两点横坐标，则其中点坐标为。
∴ AB的垂直平分线方程为。
令，则，∴ 。
（2）若为等边三角形，则点E到AB的距离为的倍，
由，，得
∴ ，，。
16. （1）对称点Q的坐标为，它不在抛物线上；
（2）由和联立，消去，得。
?由，得或。
?由题意 ∴ ，
当点N在直线上时，。
∴
当时，当时，
∴ 的范围是。
17. （1）椭圆方程为；
（2）设P为MN中点，由和联立，消去，
得。
∴ 由得，。 ①
∴ ，。
∴ 。
∵ ，∴ 。
∴ ，解之，得。 ②
由①②得，解之，
??又，∴ 为所求。
18. （1）抛物线方程为或。
（2）过点Q作轴的平行线交抛物线于M，交准线于N，则点M即为所求的点。用反证法证明之，（略）
19. （1）∵ ，∴ 双曲线的焦点为，，
设，则由余弦定理，得
。
当且仅当时等号成立。
∴ 由得。 ∴ 点P的轨迹方程为。
（2）假设存在点Q，（1）中轨迹上的点P为，。
∵ ，∴
??
。
?① 当，即时，则当时，存最小值。
令，解之得。
此与矛盾，即此时Q点不存在。
?② 若，即，则当时，有最小值，即
令，解得或。
故存在点Q或Q符合题意。
20.（1）如图，由题意有，再设点P到直线的距离为。
∴ ∴ 。
故点P的轨迹是以F为焦点，直线为准线的抛物线在上半平面的部分，即点P的轨迹方程是，。
（2）抛物线与轴的交点M，假设存在点A、B，使，
??设A、B
则，，∴ 。不妨假设，
由此得，，经验证点A、B使
（3）由（2）知当时，，也即。
直线AB的方程为
即 ∴ 。
令，得。∴ 直线与轴交于点。
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