综合测试
【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共60分）
1. 如果M、N为非空集合，那么是 的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2. 若且，则锐角为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
4. 过点M（-2 , 4）作圆的切线，直线
与平行，则与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是大小确定的一个二面角，b和c是两条异面直线，下面给出的四个条件中，使b和c所成的角为定值的是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
6. 将函数的图象向右平移个单位后，再作关于轴的对称曲线，得到函数的图象，则是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则一定有（ ）
A. B. C. D.
8. 数列中，，…，则（ ）
A. 505 B. 510 C. 610 D. 750
9. 要使成立，则应有（ ）
A. B. C. D.
10. 等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中，也是常数的是（ ）
A. B. C. D.
11. 椭圆（）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知PA、PB是平面的两条斜线段，，，，，，若平面PAB与平面所成角不大于，则PA与平面所成角的范围是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 已知P是抛物线上的动点，定点，若M分所成的比为2，则动点M的轨迹方程是____________。
14. 设，则不等式的解集是_____________。
15. 在的二面角内，，于B，，于D，且AB=2，CD=3，BD=1，M是上一动点，则AM+CM的最小值是___________。
16. 在以下关于向量的命题：① 若非零向量，向量，则；② 四边形ABCD是菱形的充要条件是且；③ 若点G是的重心，则；④ 中，和的夹角为，其中正确的命题序号是__________________。
三. 解答题
17.（本小题满分12分）
在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。
18.（本小题满分12分）
已知数列满足，前n项的和。
（1）求的通项公式；
（2）若（n为正整数），恒成立，求的取值范围。
19.（本小题满分12分）
如图四棱锥P—ABCD的底面是边长为的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC，E为垂足，且。
（1）求二面角B—PC—D的大小；
（2）F为AB上一点，EF//平面PAD，试求线段EF的长。
20.（本小题满分12分）
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉残留农药量的，用水越多洗掉农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数。
（1）试规定的值，并解释其实际意义；
（2）试根据拟定写出函数应满足的条件和具有性质；
（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可把水平均分成2份后，清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由。
21.（本小题满分12分）
已知双曲线，F为右焦点，A为右顶点，点B的坐标为的面积为
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线m过点且与双曲线的右支交于M、N两点，求直线m的斜率k的取值范围。
（3）在（2）的条件下，又知直线l过点和线段MN的中点，PQ是y轴上的一条动线段，当和PQ无公共点时，PQ长的最大值是否存在，请说明理由。
22.（本小题满分14分）
已知二次函数为偶数，对于，恒成立，且。
（1）求的解析式；
（2）若的取值范围；
（3）设，，且，试寻求使成立时，实数m、n还应满足的条件。
【试题答案】
一. 选择题
1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B
7. A 8. A 9. D 10. C 11. C 12. B
二. 填空题
13.
14.
15.
16. ①②④
三. 解答题
17. 中 ∴
∵ C为最大角，A为最小角
∴
∴ ∴
∴
18. 解：（1）由 两式相减有
∴ 为等比数列 ∴
（2） ∴
∵ ∴ 的范围是
19. 解：（1）∵PA⊥面ABCD AB⊥BC ∴ PB⊥BC 中
∴ 又 ∴
∴ ，
连BD交AC于O，连EO，则BD⊥AC
∴ BD⊥PC，BD⊥EO 从而PC⊥面BED
∴ ∠BED为二面角B—PC—D的平面角
EO平分∠BED
∴ ∠BED=
（2）作EM//CD交PD于M，连AM ∵ EF//面PAD ∴ EF//MA
从而四边形AMEF为 ∵ ∴
在中，∠PDA=
由余弦定理得 ∴
20. 解：（1）表示没有用水清洗时，残留农药保持不变。
（2）在 单调减
（3）清洗一次残留量，清洗两次
由于，因此当时，清洗两次较少；
当时，，两种方案效果相同，当时，，一次清洗的农药量较少。
21. 解：（1）
（2）m的方程为代入，有①
由于m与双曲线所交于不同两点，因此方程①有两个不等负根
∴ 解得：
（3）由（2）知，MN的中点为D，其中，因此过D、R的直线l的方程为与轴交点为T（0 , t），则
由于，在上为减函数
∴
∴ 或 可见与直线l无公共点的线段PQ的长度最大值为
22. 解：（1）∵ ∴
∴ 又∵ 恒成立
∴ ∴ ，而为整数
∴
（2）
当时，
当时，
∴ 的最值范围是
（3） 不妨设
∴ ∴
∴ ∴
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