2013年江苏栟茶中学高三数学考前赢分30天 第20天
核心知识
1、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
2、（1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面
所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
4、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。
5、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。（2）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。
6、侧面积（各个侧面面积之和）：
（1）棱柱：侧面积＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积＝底面周长×侧棱长。
（2）正棱锥：正棱锥的侧面积＝×底面周长×斜高。
提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。
（3）正棱台：正棱台的侧面积＝×（上底周长+下底周长）×斜高。
8、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
9、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。
10、球的体积和表面积公式：V＝。
补差纠错
1．给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是
解题规范
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前日回顾．
1已知长方体中，棱，，那么直线和平面的距离是 .
2．三棱柱，侧棱在下底面上的射影平行于，如果侧棱与底面所成的角为，，则的余弦为
3．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比
当天巩固
1．直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，则三棱柱的体积为
3．若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为则北
纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为
4．圆台体积为πcm3,侧面展开图是半圆环，圆台底面的大半径是小半径的3倍，则这圆台的上底面半径为 、
5．球的外切圆台的上、下底半径分别为1和3，则球的体积为
6．正四棱锥中，高，两相邻侧面所成角为 ，,
(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。
7．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，，
(1)求证：二面角是直二面角；
(2)求二面角的正切值；
(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体，求几何体的侧面积．
前日回顾答案：1 2 3 4：6：9
（2）在 中，侧棱=，，
∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，
在中，斜高；
7．证 (1) 如图，在三棱锥中，取的中点．
由题设知是等腰直角三角形，且．∴ ．
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