2013年江苏省栟茶高级中学高三数学考前赢分第23天
核心知识
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
7.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
8.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，
称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。
9、点和椭圆（）的关系：
（1）点在椭圆外；
（2）点在椭圆上＝1；
（3）点在椭圆内
10．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是
必要条件。
（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
11、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。
12、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ①＝
，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②。
12、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
13、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
14、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线
中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
15．你了解下列结论吗？
（1）双曲线的渐近线方程为；
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②
（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
16．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立之间的关系；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
17解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角
形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;
补差纠错
1．对于抛物线我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与C的交点的个数
2．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是
●常见错解：1 一个交点 2
●正确答案： 1 没有公共点 2 和
●避错策略： 1要根据方程思想去计算 2 要注意数型结合
解题规范
1．已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
标准答案
解：（Ⅰ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
其半焦距离 c=6。
。
∴
所以所求椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为、
、（0，6）。
设所求双曲线的标准方程为
由题意知，半焦距c1=6，
∴
所以所求双曲线的标准方程为
●解题规范：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。
考前赢分第23天 爱练才会赢
前日回顾．
1．过点（2，－2）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是
2．双曲线上的点到左准线的距离是到的左焦点距离的，则m=
3．设为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当的面积为1时， 的值为
4．设A（－2，），F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，则当|AM|+2|MF|
取最小值时，点M的坐标为
当天巩固
1．椭圆ax+y=a(0
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