2013年江苏省栟茶高级中学高三数学考前赢分第26天
核心知识
1．导数的定义：设函数 y=f(x)在区间（a,b）上有定义, x0 ∈（a,b），△x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在x=x0处的可导，并称该常数是A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作
3．(1)导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为。过点P的切线方程为：y- y0= (x- x0).
(2) 导数的物理意义：函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s((t0), 就是当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s((t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v((t0)表示物体在时刻 t=t0 时的加速度.
4．几种常见函数的导数：
(C为常数)；()；；；；；；。
5．导数的四则运算法则：
；；
；
6．（理）复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x).
函数的单调性
设函数y=f(x)在某个区间内可导，若0，则f(x)为增函数；若0，则f(x)为减函数。
求可导函数单调区间的一般步骤和方法。
①确定函数f(x)的定义区间；
②求，令=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③把函数f(x)的间断点[即包括f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
可导函数的极值
（1）极值的概念
设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。
（2）求可导函数f(x)极值的步骤
①求导数；②求方程=0的根；③检验在方程=0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。
函数的最大值与最小值
设y= f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，并在（a,b）内可导，求函数在[a,b]上的最值可分两步进行：
①求y= f(x) 在（a,b）内的极值；②将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或递减），则f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函数的最大值（或最小值）。
10．（理）定积分定义 设函数 在区间上有定义，把 [a,b] 等分成 n个小闭区间，每个小区间的长度为△x ，在每个小区间上任取一点 ，依次为,作和
如果△x无限趋近于0（亦即n趋向于+∞）时，Sn无限趋近于常数S，那么称常数S为函数在的定积分，记作
其中称为积分函数， 称为积分区间，a称为积分下限,b称为积分下限。
11．（理）定积分几何意义：在区间上曲线与 x轴所围图形的代数和（即x轴上方的面积减去x轴下方的面积）。
12．（理）微积分基本定理 对于被积函数 ，如果
解题规范
1 设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。
（Ⅱ）求的单调区间与极值。
标准答案
解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
考前赢分第20天 爱练才会赢
前日回顾．
1．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
2函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点的个数
3. 在区间上的最大值是
当天巩固
1设函数，则′＝____________________
2设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。
（Ⅱ）求的单调区间与极值。
3 设函数
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.
（Ⅲ）已知当恒成立，求实数k的取值范围
4 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
前日回顾答案：
1解析：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为
2 解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个
3 解析：，令可得x＝0或2（2舍去），当－1(x(0时，(0，当0(x(1时，(0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。
当天巩固答案： 1
2 解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
3 解析：（Ⅰ）
∴当，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知图象的大致形状及走向（图略）
∴当的图象有3个不同交点，
即方程有三解（
（Ⅲ）
∵上恒成立
令，由二次函数的性质，上是增函数，
∴∴所求k的取值范围是
4 解析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积=.
（3）依题意，有，
∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－
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