导数与微分 （一）网上教室 1．本讲主要内容： 2．学习指导 (1)判断函数的单调性的常用方法有哪些? 判断函数的单调性常用的方法有：定义的方法,即设任x1f(x2), 则函数f(x)在（a,b）上为单调减函数，应注（a,b）

(
：为函数的定义域).现在我们又多了一种判定函数单调性的方法，即求导法.即当x
（a,b）时，若f′(x)>0, 则f(x)在（a,b）上为增函数，若 f′(x)<0, 则f(x)在（a,b）上为减函数. (2)可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件是什么？ 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是这点的导数为0. 对于可导函数，其一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号. 由此看到寻找可导函数的极值点时，必需要研究函数在这点两侧的导数，即单调性问题. (3)学会利用可导函数的导数来研究函数的最值问题. 如求函数f(x)=
(x>0) 的最小值. ∵ x>0 , ∴f(x)=
≥
当且仅当x=
, 即x=
时 “=” 成立 故当x=
时f(x)有最小值
. 下面我们把题目改动一下，求f(x)=
(00 ∴
≥
当且仅当
, 即
时“=”成立 故当
时，总造价最小. 这道题作到此作完了吗？这样作对吗？ 汉有作完！不对! 错在哪里呢? 这样作的同学忽略了定义域0k时，如何求函数的最小值呢？这里可利用求导的方法求解 ∵
当x
( 0,
) 时，y为减函数， 当x
(
,
)时，y为增函数, ∴此时x=k时，y有最小值，y小=
故当
≤k时，x=
，y有最小值，即造价最低. 当
>k时，x=k，y有最小值，即造价最低. 注：(1)此题可直接利用求导的方法求函数最值. (2)研究有关函数的问题，不可忽略对函数的定义域的讨论. 例3．设函数f(x)=
，其中a>0，求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，
)上是单调函数. 分析及解：这是2000年高考试题第(19)题的第(2)问，解此题可有两种方法，利用函数单调性的定义或利用函数的导数研究其单调性. 方法(一)： 在区间[0，
)上任取x1, x2, 使x1< x2 f(x1)－f(x2)=
=
=
(i)当a≥1时, ∵
< 1 ∴
< 0 又 x1－x2 < 0 ∴ f(x1)－f(x2) > 0 即 f(x1) > f(x2) 所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0，
)上是单调递减函数. (ii)当00 , 则有
> a 若对x
[0，
)上式恒成立，则应有a<0成立，但已知a>0，∴a<0不成立，即当00, 利用函数的单调性证明: x>ln(1+x) (8)设f(x)=-x3+x2-x , x
[0, 2], 求函数F(x)=a[f(x)]2+2af(x) (其中a为非零常数) 的单调区间和最值. (9)设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间, 试确定a的取值范围, 并求出这三个单调区间. (10)将数8分为两数之和, 使其立方之和为最小. C．研究性习题： 用总长14.8m的钢条制做一个长方体容器的柜架, 如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m , 那么高为多少时容器的容积最大? 并求出它的最大容积． (2000年高考试题) 2. 能力训练题点拨与解答 A: (1) D (2) D f′(x)=
·cos2x·2x·ln2 (3) C f′(x)=4x-
·2=4x-
, 令f′(x)>0 , 即 4x-
>0 可求解 x>0 (4) D y′=
·(-2x) |x= -1=2 , 又f(-1)=1 ∴切线方程: y-1=2(x+1) (5) D y′= -
-
|x= 4= -
又 点(4, -
)在第四象限, ∴直线的倾斜角为钝角 (6) C 函数在x= -1的两边的导数同号 (7) y′=
=
=
(8) y′=
=
=
=
另解: ∵y=4lnx-
ln(x2+1) ∴ y′=
=
(9)由 y=
得交点为(1,1) y=
设两曲线在交点(1,1)处的切线的倾斜角分别为
、
,则tan
=
|x=1= -2 tan
=
|x=1= -1 ∴tan
=
=
=
(10)设(x0, y0)是所求切线上的切点, 则y0=
+x0 , y′
=3
+1=4, 解得x0=1或x0= -1, 从而y0=2或y0= -2 ∴所求切线方程分别为4x-y-2=0, 4x-y+2=0 B： (1) 11 v(t)=
=1+2t ∴v(5)=
| t=5=11 (2) -
利用导数可知函数在x=0处取得最大值, ∴a=2. 又知函数在x=1处取得极小值f(1)=
, 又f(-1)= -
∴f(x)min= -
(3) f′(x)= -secx (4) （0，1） （1，2） (5) 1 2 3 18 (6)
V= (6-2x)(4-2x)·x =4x3-20x2+24x ( 00 , ∴f(x)在(0,+
) ∴当x>0时 f(x)>f(0) 而f(0)=0 ∴ f(x)>0 , 即x-ln(1+x)>0 ∴x>ln(1+x)成立. (8)∵f′(x)= -3x2+2x-1 ∴F′(x)=2a(3x2-2x+1)(x2+1)(x-1) ∵3x2+2x+1>0 且 x2+1>0 x
R ∴当a>0时, F(x)在(1,2) 在(0,1) 当a<0时, F(x)在(1,2) 在(0,1) ∵f(0)=0 , f(2)= -6 , f(1)= -1 ∴F(0)=0, F(2)=24a, F(1)= -a ∴当a>0时, 当x=1时, F(x)小= -a, 当x=2时, F(x)大=24a 当a<0时, 当x=1时, F(x)大= -a, 当x=2时, F(x)小=24a (9)∵f′(x)=3ax2+1 若a>0, 则f′(x)>0, x
(-
,+
), 此时f(x)只有一个单调区间, 矛盾 若a=0, 则f(x)=x , 此时f(x)也只有一个单调区间, 矛盾. 若a<0, 则f′(x)=3a(x+
)(x-
) 综上可知a<0时, f(x)恰有三个单调区间, 其中减区间为(-
,-
), (
,+
), 增区间为(-
,
) (10)设一数为x , 则另一数为8-x , 且设它们的立方之和为y , 则y=x3+(8-x)3 y′=3x2-3(8-x)2=48(x-4) 当x<4时, y′<0 ; 当x=4时 y′=0 当x>4时, y′>0 ∴当x=4是y在(-
,+
)内的极小值点. ∴当x=4时, y有最小值, 即把8分作4和4, 其立方和最小. C： 设容器底面短边长为xm, 则另一边长为(x+0.5)m, 高为
=3.2-2x 由3.2-2x>0和x>0 , 得0

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