复 数
网上课堂
本讲主要内容
本章的知识结构如下：
虚 数 单 位
实数 复数
表示法 运算 运用
学习指导
了解对数集的扩充，加深对复数概念的理解.
从小学、初中到高中，数集的扩充如下：
正整数
零 整数
有理数
负整数 分数 实数
无理数 复数
虚数
由于数的概念的不断发展，才使数学运算中出现的矛盾不断解决，而虚数单位的引入，也正是由于解方程的需要，根据的规定，定义了复数，
实数（b=0）
复数z=a+b 非纯虚数（a≠0）
(a,b∈R) 虚数（b≠0）
纯虚数（a=0）
实数和虚数统称为复数，两者又有区别：
实数可以比大小，而虚数不能比大小；
实系数的一元二次方程可以用Δ来解，虚系数的一元二次方程不可以用Δ来解；
若a2+b2=0,在实数范围内，只有当a=b=0时上式才可以成立；在虚数范围内，可以取其它值，如a=1+,b=1-;
在实数范围内适用的公式=，在虚数范围内不一定适用，如=1，==-1.
复数的三种表示形式的作用.
复数的代数形式是在复数定义之后给出的，说明任何一个复数均可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定，即复数与复平面内的点一一对应，利用代数形式可以进行复数的加、减、乘、除四则运算，其中对于加、减法的运算比较简便，可以比较两个复数是否相等.
复数的几何形式是用平面向量来表示相应的复数，这样平面向量与复数是一一对应的关系.复数的大小即为相应的平面向量的模，复数的加、减、乘、除四则运算可以在复平面内用向量方法进行，这样就沟通了复数与几何之间的联系，是数形结合思想的具体表现.
例如：可以把复数之差的模理解为两点（一动点，一定点）之间的距离，所以我们可以用复数的形式来表示某些点的轨迹.
若设为复数，，则有：
（1）表示对应点之间的距离；
（2）=表示以对应点为圆心，为半径的圆；
（3）表示以对应点为两端点的线段的垂直平分线；
（4）表示以对应点为焦点，为长轴长的椭圆，（）；
（5）表示以对应点为焦点，为实轴长的双曲线，（）；
复数的三角形式可以很直观地找出复数的模与幅角，另外在做乘、除、乘方、开方运算时，用复数的三角形式十分简便，其几何意义也易于理解和应用，这种形式把复数与三角，与角度及其三角函数值联系了起来.
要利用复数的三角形式解题，首先要抓住三角形式的基本特点：（1）；（2）余弦在前，正弦在后；（3）中间用“+”号连接；（4）前后三角函数中的角形式要一致；只有同时满足这四条时才是三角形式.
例题精讲
已知，
设，求的三角形式；
如果，求实数的值.
[分析及解]
本题主要运用共轭复数、复数的相等、复数的三角形式等基础知识及复数的运算.
由与的关系式，将=1+代入，化简，即求出.，再化为三角形式.
将代入关系式，得则由复数相等的条件 解出.
已知虚数满足是实数，且，求虚数.
[分析及解]本题解法较多，每一种解法都是运用数学的转化思想，根据题目条件进行的.
解法一：设虚数，则
，
由于是实数，知，且，，
虚数，又，而，
.
这是解复数题中最基本的一种方法，令代入法.
解法二：由入手，可设
.
再算
由，且,
..
这种解法从幅角入手，设出复数的三角形式，代入关系式，再利用它是实数的条件，求.
解法三：是实数，.
，由于是虚数，可知，.可设，下同例1，解出.
这种解法利用实数的共轭复数仍是它本身的知识，这也是整体法解复数题的一个例子.
在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为（其中O是原点），已知对应复数，求和对应的复数.
[分析及解] 本题是一道典型的运用复数乘法的几何意义的问题.
根据题意，所对应的向量顺时针旋转，模长缩短为模长的倍，即为.逆时针旋转，模长同样缩短为模长的倍，即为.
设对应的复数为，
例4．已知复数，复数，，在复数平面上所对应的点分别为P，Q.证明OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.
[分析及解]本题主要是复数三角形式的运算.
解法一：要证OPQ是等腰直角三角形，可利用结论：两个非零复数z1，z2在复平面内对应的向量互相垂直的充要条件是是纯虚数.
由已知|z|=1，|w|=1，则，
为纯虚数，
，OPQ为等腰直角三角形.
解法二：将OPQ的边OP，OQ视为两向量，求它们的夹角是否为直角.
OP，OQ的夹角, 即.
OPQ为等腰直角三角形.
解法三：可利用勾股定理验证..
=
=
而
OPQ为等腰直角三角形.
二、网上能力训练题
基础性训练题
选择题
(1)设为复数，那么是同时为零的( )
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件
(2)若 ,则θ值为( )
(A) (B) 或
(C) (D)
(3)的值等于( )
(A)1 (B) –1 (C) (D) -
(4)复数的模为,幅角主值为,则下列结论 中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
(5)复数的一个立方根是,它的另外两个立方根是( )
(A) (B)
(C) (D)
(6)已知是实系数一元二次方程的一 个根,a,b的值为( )
(B)
(C) (D)
解答题
(7)已知，解方程.
(8)设复数，化简
(9)已知复数满足，且，求 的值.
(10)设z是复数，z+2的幅角为，z-2的幅角为，求z.
提高性训练题
填空题
复数为纯虚数的充要条件是?______________
已知复数z满足|z|=1，且|z-1|=|z-i|，则z=____________________
若复数在复平面内对应的点分别为A，B，C，且D为BC中点，则向量所对应的复数是___________________
已知复数z满足，则的最大值为_______
若复数在复平面上对应的三个点A，B，C组成直角三角形，且，则 z________________________
是实系数方程的两个虚数根，且.则实数m的取值范围是_____________________
解答题
若复数z满足是纯虚数，且有，求z.
已知关于x的方程有实数根，求复数z的模的最小值.
若复数z使得是实数，试说明复平面上表示z的点的轨迹方程.
已知方程有实根b，且，求复数的幅角主值的取值范围.
能力训练题点拨与解答
（一）基础性训练题
选择题
B.实数范围内适用的结果在复数范围内未必适用.如令，则.
B.由复数相等定义，得，解集为或，由于，或.
D.解法一：
.
解法二：
，
则
.
C.复数，
模，幅角主值为，
在第一象限，，，
，.
D.数形结合思想的运用，一个复数的n次方根对应的点均匀地分布在以原点为圆心的圆上，已知一个点为（0，1），则另外两点的纵坐标必为负值.
A.化简，它是方程的根，，
解得.或利用实系数方程有共轭虚根及根与系数的关系来求.
解答题
(7)解：设
将代入原方程，得
整理得
由复数相等的定义，得，解得
.
(8)解：
(9)解：由，可知.
设，则
又
为方程的两根.
解得或w
或.
(10)解法一：的幅角为，设，
的幅角为,
解得
.
解法二：由题意复数z,-2，2所对应点可构成直角三角形.如图5-1，连结OZ，-2，O，Z构成正三角形，，z对应点的复数为
.
提高性训练题
填空题
.由已知，且可设.
或.由已知，复数z所对应的点Z在直线y=x上，且，得
.D点所对应的复数，
所对应复数.
.由已知得复数z对应点Z的轨迹是以为端点的线段.表示动点Z到定点的距离的最大值，如图5-2，易知.
.利用的充要条件是是纯虚数.,,，
,是纯虚数，且,.
. 为方程的两个虚数根，得
解答题
解：此题若求z，应先求.
设
若是纯虚数，则 即①
∵ ∴与①联立，解得
， 由题意，只取，
.
也可用其它办法求，由于是纯虚数，得，
得到，即.
解：设是方程的一个实数根，则，.
解法一：设，
为实数
或
或或..
对应点轨迹为x轴、y轴（除原点）及圆.
另解，为实数
则，即
则， 除（0，0）点
解：由方程有实根b，则代入b，由复数相等的条件
知 解出
当时，，故复数的幅角主值在.
即
当时，，故复数的幅角主值在.
即
由(i)(ii)得的幅角主值的取值范围是
.
研究性习题
设复平面上的点A，B，C对应于复数，且， ，若，求四边形OABC的面积.
[分析及解]利用复数乘法的几何意义，求出各复数的模和幅角，就可通过分割图形，应用面积公式求解.
A点对应的复数，可设为
，
.
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