函数(二) 网上教室 (一) 本讲主要内容: (二) 学习指导: 指数函数与对数函数互为反函数,对这两种函数用对照比较的方法并且结合图象进行复习,往往效果较好,在解题时,务必重视对底数a与1的关系的讨论,还要注意函数的定义域. (三) 例题精讲: 例1. (90年全国理) 设,其中a是实数,n是任意给定的自然数,且,若当时有意义, 求a的取值范围. 分析及解: 当时, 有意义,即已知函数的定义域为. 故可得的解集为,也即不等式 (1) 的解集为. 接下来应考虑如何利用上述的条件求出a的取值范围呢?我们观察到, a的系数nx>0,故可将不等式①变形得:   (2) 观察不等式的右端是一个以x为自变量的函数,可设:   ∵当时,都是关于x的增函数, ∴在上为增函数,虽然当x = 1时, . 再观察不等式(2),所求a的取值范围的问题可转化为a只要比的最大值大即可. ∴ 此题的解法充分体现了函数思想的应用,其关健是将不等式(2)的右端视为x的函数,即 ,从而将的a的取值范围问题转化为求的最大值的问题. 例2. 设f(x)是定义在区间上以2为周期的函数,对,用表示区间,已知时,. 求f(x)在Ik上的解析表达式; 对自然数k,求集合.  分析及解: 由已知当时, .此时函数的图象我们可以画出来,然后再根据函数的周期性,就可作出函数的图象,如图(1),就可观察出在Ik上的解析表达式 . 另: ∵ 而当时,有 ∴ 又∵2为的周期 ∴ ∴当时,    设,方程在上有两个不相等的实根等价于函数与的图象有两个不同交点,因此可利用图象求解. 函数的图象是经过原点以a为斜率的一条直线,当时,直线与函数在区间上有两个不同的交点. ∴ 在此题的求解中体现了数列结合的思想方法的应用,在解有关方程解 的个数问题时(不求解)可以利用函数图象交点的个数求解. (98年全国文理) 如图(2)为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计) 分析及解: 此题是一道应用题,需先建立流出的水中杂质的质量分数的函数表达式,然后求其最小值. 设y为流出的水中杂质的质量分数,则  (k > 0为比例系数) 下面利用已知关系式将上述关系式4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0)将上述关系式中的a(或b)换掉,得:  (0 < a <30) (1) 式表示为y为a的函数,即得到质量分数的函数表达式,下面要考虑用什么方法求此函数的最小值,有两种方法. 方法(1):  当且仅当时“=”成立. 即当a = 6时,有b = 3,y有最小值. 上面求最小值是利用均值不等式求解,还可以利用求导数的方法求 最小值. 方法(2): 由 (0 < a <30) ∴ 令,得 ∴a = 6或a = -10 (舍) ∵函数只有一个极值 ∴当a = 6, b = 3时,y有最小值. 此题的求解还有第三种方法: 设y为流出的水中的杂质的质量分数,则 (k > 0) 由已知  ∴ ① ∵ 由①式得 ∴ ② 当且仅当时上式取等号. ②式为以以为变量的二次不等式. 设,得 ∴ ∵ ∴ 即 ∴ 即当时, ab取得最大值,其最大值为18. ∴, 解得. 方法(一)和方法(二)都是将函数y化为只含一个变量a的函数,前者利用均值不等式求解,而后者是利用求导的方法求解的,通过微积分的学习,我们又多了一种求函数最值的方法.方法(三)是视ab为一个变量,利用均值不等式得到以ab 为变量的二次不等式,从而求解. 例4.(94年全国文理) 甲、乙两地相距5千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位) 由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比,比例系数为b; 固定部分为a元. 把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域; 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析及解: 此题仍是一道应用题,根据题意建立函数表达式,再求函数的最值. 依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为. 所求函数及其定义域为: ,  如何求函数的最值,由函数的表达式,我们想到了均值不等式. 依题意知都为正数,故有, 当且仅当,即时上式中等号成立. 有的同学作到此,答: 当时,全程运输成本y最小,此解法对吗?错在哪里呢?这样作的同学没有考虑到函数的定义域,即是否属于区间.因此需对是否属于区间进行分类讨论. ①当时,则当时,全程运输成本y最小. ②当时,函数y在定义域上怎样取得最小值呢?我们可考虑函数在区间上的单调性.  令,则 当时,, ∴函数在区间上为减函数. 又∵ ∴函数y在上为减函数, ∴函数y当时取得最小值. 综上可知,为使全程运输成本y最小,当时行驶速度应为;当时行驶速度应为. 函数的定义域的重要性在此又得到了体现. 网上能力训练题 能力训练部分 基础性训练题 (1) 已知在上是x的减函数,则a的取值范围是( ) (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,2) (D) (2) 设是上的奇函数,,当时,则等于( ) (A) 0.5 (B) –0.5 (C) 1.5 (D) –1.5 (3) 已知函数的值域为R,则实数m的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) (4) 若函数在时恒有,则实数a的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D)  (5) 已知,且,则有( ) (A) (B)  (C)  (D)  (6) 已知,令,则( ) (A) (B) (C) (D) (7) 函数的定义域是,求a的取值范围. (8) 已知  将表示为的函数; 求的最小值. (9) 已知 是奇函数,,在区间上是增函数,求a, b, c的值. (10) 已知a, b为常数,且,且,并使方程有等根.①求的解析式;②是否存在实数m, n (m < n),使的定义域和值域分别为和?若存在,求出m, n的值;若不存在,说明理由. 提高性训练题: 函数的反函数的定义域是_________. 已知,则y的值是__________. 已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数m的取值范围是_________. 已知奇函数,当时,,那么使的x的取值范围是__________. 若对所有正实数x,都成立,则正实数P的取值范围是__________. 已知函数对于任意的实数m, n都有,请举出的一个具体例子__________. 设函数,其中m是实数,又用M表示集合M=. 求证当时,对所有实数x都有意义; 反之,如果对所有实数x都有意义,则; 当时,求函数的最小值; 求证: 对每一个,函数的最小值都不小于1. 设,函数,求: 和的公共定义域D,并判断函数,在D内的单调性; 若 D,且在上的值域恰为,证明有大于3的两异根,并求此时a的取值范围. (2000年高考天津卷) 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 如图,某人所划的船位于A处,A到海岸(看成直线)l的距离AB为2 km,此人划船的的速度为a km/h,步行速度是b km/h (a < b),如欲以最短时间到达距B点6km的海岸C处,试问他应在何处登陆? 研究性习题: 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖长方形铁盒,要求长方体的高度与底边长的比值不超过常数t (t > 0),问x取何值时,容积v有最大值. 能力训练题点拨与解答 基础性训练题: (B) 设,由四个选项知,∴u为减函数, ∴应为增函数,故可排除(A),(C).又∵而>0 ∴. (B) 由可得,∴是以4为周期的奇函数, ∴. (C) 设,若,则,故 ∴ (C) 由题意有, ∴ ∴① ② 解不等式组可得C. (D) 由,得,又知函数的对称轴为, ∴ 当时,, ∴ 当时,, ∴ (D) ∵,∴   ∴ 而 ∴. 令,∴, 设为增函数且,∴当时, 取得最大值即, ∴. ①  ②∵ 1°若,则当时,达到最小值. 2°若,则当时, 有最小值. ∵是奇函数, ∴, ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ ∵ ∴①　∵在↗ ∴ ∴② 由①,②得 ∵ ∴ 代入① 得, ∴. ①由及方程有等根,得,, 　∴. ②函数图象的对称轴为, 1°当时,; 2°当时,得,这与矛盾. 3°当时, ,无实根. 故. 提高性训练题: (-1,1).由等式可得,解之得. 由,得或(舍),将x=1代入方程中得y=. ( ①当m=0时,满足题意 ②当m≠0时,应有 0〈m≤1或m<0 ∴m∈(- (4) ( 当x<0时,则-x>0 ∴ ∴f(x)=x+1 ∴ 令00 ∴, ∴ ∴p2-4p+1<0 (6) f(x)=0,f(x)=1,f(x)=2x等均可. (7) ：①设u=① 即u=② 当时,有m>1,此时由②式易见对任何都有u>0,故时,f(x)对任何都有意义,反之,如果f(x)对任何都有意义,应u>0恒成立,由②式知,只须即,∵m2-m+1>0,∴只须m-1>0 ∴m>1,即 ②∵y=log3u在上是增函数, ∴由②知当x=2m时,y即f(x)有最小值, ③当,即m>1时,有. 当且仅当m-1=,即m=2时,“=”号成立. ∴f(x)的最小值f(2m)=log3(m+ (8) ①D{x∣x>3} 当a>1时,g(x)、f(x)在D上↗; 当03 即方程f(x)=g(x)有两个不同的根m、n f(x)=g(x) 上述方程在有两根,且为大于3的不同的两根,则有   (9)设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为,由和x>0,得0a时,V=V(x)为增函数；由,得时, V为减函数. ①当,即时,在时,V有最大值 Vmax=4· ②当,即时,在时,V有最大值. . 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u
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