数列(三)
(一)网上课堂
1．本讲主要内容
见第十讲；
2．学习指导
如何运用归纳、猜想、证明的数学方法解题.
观察、归纳、猜想、证明是相互联系,常常综合运用的数学学习方法,在探讨某些问题时,往往先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路;然后用归纳方法进行试探,提出猜想;最后用逻辑推理方法(例如数学归纳法)去进行推证,以检验所提出的猜想.
举例(1)：比较两个数,的大小.(n∈N*)
直接比较a与b的大小比较困难,我们注意到a、b分别为n的函数,即a、b分别随着n的变化而变化,不妨取n=1,2,3观察.
当n=1时,a=2,b=,此时有a>b;
当n=2时,,,此时有a>b;
当n=3时,,,此时有a>b.
由上面3个特殊情况,我们可以归纳、猜想出一般结论,即a>b,然后再利用数学归纳法给予证明.
(2)：已知是正数组成的数列,其前n项为,对所有正整数n都有成立,求数列的前三项及通项公式.
题目中给出了一个递推关系,可令n=1,解出a1=2;令n=2时,解出a2=6;令n=3时,解出a3=10.
同学们作到此,已经可以猜想归纳出数列是以2为首项,公差为4的等差数列,即,下面要用数学归纳法证明.(此题也可以利用与的关系式求出来)
通过上面两个例子我们看到观察、归纳、猜想、证明是解决数列有关问题常用的数学方法,在这个方法中也体现了由特殊到一般的辩证唯物主义观点,希望同学们能够掌握并且自觉地运用此方法解题.
3．例题精讲
例1．设是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数n,与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)写出数列的前3项;
(2)求数列的通项公式.(写出推证过程)
(3)令,
求：(94年全国高考试题)
分析及解：
(1)根据已知条件得到与的递推关系式,即,由此关系式可求出.
∵,∴,
又∵,∴.
同理,由,得.
由,得.
(2)方法(一)：由a1=2,a2=6,a3=10可猜想.
下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时,a1=4×1-2=2.等式成立.
2°假设n=k时,成立,(k≥1)
∵,,
∴
=
∴
∵k≥1,∴,∴
又,
∴
∴
即时等式成立.
由1°和2°知对任意n∈N*,都有.
方法(二)：
∵,∴(n∈N*)
∴
当n≥2时,
=
而
∴
∴
∴
∵,∴
∴,即(n≥2)
故数列为等差数列,公差为4,
又a1=2,∴.
(3)由
而
=
=
∴.
∴.
说明：数学归纳法是一种重要的推理证明方法.要想掌握好数学归纳法,首先要正确理解数学归纳法的本质,这样在证明中才会正确运用归纳假设.在本题证明中有如下写法：
“设n=k时等式成立.
∵
=,
即
∴,即,
因此,当n=k+1时等式也成立.”
这里归纳假设没有用上,而平白加上了条件.也就是先认为数列是等差数列,犯了循环论证的错误.
例2．已知数列是等差数列,b1=1,.
(I)求数列的通项;
(II)设数列的通项,记Sn是数列的前n项和,试比较Sn与的大小,并证明你的结论.(98年全国高考试题)
分析及解：
(I)已知等差数列的首项b1=1,前10项和S10=145,通过解方程可求解.
由
∴bn=3n-2.
(II)由通项可得
=
若要比较与的大小,只需比较与的大小,显然直接比较这两两个数的大小不容易,但我们注意到这两个数都是与n有关的式子,故可先取n=1,n=2,n=3比较两个数的大小,由此可推测出下面应用数学归纳法证明.
(1)当n=1时=2,而=
显然成立.
(2)假设n=k时,有>成立(k≥1),
则当n=k+1时,
要证成立.
只需证明成立即可.
如何证明上面不等式成立呢？可利用求差比较法来证明：
∵
=
=
=
∴成立.
∴成立.
即当n=k+1时,不等式成立.
由(1)、(2)可知对任意n∈N*,不等式
>成立.
当a>1时,成立.
当a<1时,成立.
说明：本题中对不等式
>
的论明采用的是数学归纳法,而在证明n=k+1时不等式成立时又采用了分析法和求差比较法.
(二)网上能力训练题
1．能力训练部分
A．基础性训练题：
(1)从2000年到2003年,某人每年7月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄,若年利率q保持不变,且每年到期的本息均自动转变成新一年定期存款,到2004年7月1日,此人将所有存款的本息全部取出,则取出的金额是( )元.
(A) (B)
(C) (D)
(2)设公比为q(q≠1)的等比数列的前n项和为Sn,且,那么k等于( ).
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1
(3)等差数列的前n项和为Sn,如果S7>S6,且S7>S8,则a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14的值( ).
(A)大于0 (B)等于0 (C)小于0 (D)可正可负
(4)有一等差数列,在前n项中,前n项和Sn=264,前四项和为21,后四项和为67,则项数n等于( ).
(A)12 (B)24 (C)36 (D)48
(5)已知数列是等比数列,a4a5a6+3a4a6a7+3a5a6a8+a6a7a8=64,那么a5与a7的等差中项是( ).
(A)8 (B)4 (C)2 (D)3
(6)三个数、1、成等差数列,又、1、成等比数列,则等于( ).
(A)-3 (B)1 (C)-1或3 (D)-3或1
(7)已知等比数列中,a1=1,公比q>0,实数x满足x≠-1,且,并把该方程记为In,方程In的解记为xn,求证数列是等差数列.
(8)已知数列满足条件a1=2,an+1=an+4n+2(n∈N*)
(1)求的通项公式;
(2)求的值.
(9)试判断：能否构造一个实数等比数列,使其满足下列三个条件：①a1+a6=11,②;③至少存在一个自然数m,使依次成等差数列,若能请写出这个数列的通项公式;若可能,请说明理由.
(10)已知等差数列的首项为1,公差为d,前n项和为An;等比数列的首项为1,公比为q(|q|<1),前n项和为Bn,设,若,求d和q的值.
B．提高性训练题：
(1)已知a,b,c成等比数列,a,x,b成等差数列,b,y,c也成等差数列,则的值等于____________.
(2)在等差数列中,若3a5=8a12>0,Sn是等差数列的前n项之和,则Sn取得最大值时,n=_____________.
(3)在数列和中,a1=2,且对任意自然数n,,bn是an与an+1的等差中项,则的各项和是___________.
(4)已知,那么____________.
(5)已知等比数列(),a1+a2=9,a1a2a3=27,且Sn=a1+a2+…+an(n=1,2,…),则=____________.
(6)等差数列,的前n项和分别为Sn与Tn,若,则等于____________.
(7)已知函数.它的展开式中x的系数为,x2的系数为bn,xn的系数为cn,各项系数和为dn.
①求出an、cn;
②设,是否存在最小值？若存在,求出它的最小值;若不存在,说明理由.
(8)已知数列满足a0=1,an=P|an-1|-1(n∈N*),其中P为常数,00
∴,
由题设可知n>1,∴.
∵x≠-1,∴,
,,
∴.
∴数列是以为首项,为公差的等差数列.
(8)(1)：由,得
令n=1,2,3,…,n-1有
,
,…,
各式相加得
∴.
(2)由(1)可知
∴
=
=.
(9)假设存在,设公比为q,
由①有
由②有
或.
∴或.
由③ 成等差.
若,则,
整理得,∴m=3.
若,同理可得
设,则
∵Δ=249,不是完全平方数.
因此t无解,故m不存在.
(10)∵,,
∴
=
∴
∵
∴
B．提高性训练题：
1．2
∵①,2x=a+b②,2y=b+c③
由②：b=2x-a,由③：b=2y-c
∴4xy-2cx-2ay+ac=ac
∴2xy-cx-ay=0
∴.
(2)16．
由,得代入中
当
∴当n=16时,Sn最大.
(3)2．
∵,∴数列是公比为的等比数列,∴
∴
∴其各项和S=.
(4)1．
∵,∴
∴.
(5)12．
设等比数列的公比为q,则①
∵,得 ②
由①、②解得,,
∴.
(6).
,∴
∴=.
(7)①∵
②
=
∴,
即g(n)单调递增,∴当n≥2时,g(n)≥g(2)=,
即g(n)有最小值.
(8)①当n=1时,,
由0
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