三角函数 一．网上课堂 1．本讲主要内容 三角函数 2．学习指导 三角函数是高中数学的重要内容之一,跨学科应用是它的鲜明特点,在解答复数、立几、解析几何时,三角函数是常用工具,同学们在复习时应注意以下几点. (1)三角函数图象和性质的综合应用. 三角函数是一个函数,因此解决有关三角函数的最值、定义域、奇偶性、单调性、周期性等问题时应结合前面已复习的函数有关知识复习,充分利用函数的思想分析问题,另外由于三角函数的特性,充分利用其图象来解决有关综合问题是非常有效的,因此运用数形结合的思想解有关三角问题是非常重要的. (2)三角恒等变形. “变角”、“变式”、“变函数名称”是三角恒等变形的三种变换,在解此类习题时要充分运用等价转化的思想分析问题、解决问题. (3)与三角形相关的三角函数问题. 解决此类题时既要注意应用有关三角公式又要注意有关三角形中的定理的应用.如正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等. 3．例题精讲 例1．已知在ΔABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且,求A的值. 分析及解： 如同利用已知条件：呢？可利用正弦定理或余弦定理实施边角转换,即将已知等式转换成关于角的等式或关于边的等式,此题利用正弦定理较好,若利用余弦定理所得的式子较繁. 由已知有： ∴. 此时等式中有角A、B、C,利用三角形中A+B+C=π,将sinC=sin(A+B)代入上式 得 而sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B) ∴, ∴. 例2．已知函数 (1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期. 分析及解：本题是对数函数与三角函数相结合的题目,即考查对数函数的基本性质,又考查了三角函数的定义域和值域,单调性、奇偶性、周期性. (1)由题意得：sinx-cosx>0,即,从而得 ∴函数f(x)的定义域为, 又∵,∴, 即有： 故函数f(x)的值域是. (2)这是一个复合函数单调区间是: 设u=sinx-cosx, 当u>0时,y↘ 又∵在f(x)的定义域上的单调递增区间为 ,单调递减区间为, ∴函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间为. (3)研究函数的奇偶性,需先考虑其定义域. ∵f(x)的定义域在数轴上对应的点是关于原点不对称, ∴函数f(x)是非奇非偶函数. (4)利用函数周期性的定义来判断. ∵  ∴函数f(x)的最小正周期T=2π. 例3．设复数,求函数的最大值以及对应的θ值. 分析及解：这是99年全国高考试题,是复数与三角知识以及函数最值综合的题目,与复数有关的知识是argz=? ∵得 由,得及. 为了求函数y=θ-argz()的最大值,需先求y的某个三角函数的最值,由题意只需求出的最值即可. ∴tany=tan(θ-argz) = 此时tany表示为tanθ的函数,∵∴tanθ>0,对于此类函数可利用均值不等式求最值.  ∵ ∴. 当且仅当()时,即时,上式取等号. 所以当时,函数tany取最大值. 由于y=θ-argz得,由于在内正切函数是递增函数,函数y也取最大值. 例4．在非等腰ΔABC,角A、B、C的对边分别为a、b、c,c=10,三边a、b、c成等差数列,且acosA=bcosB,P是ΔABC的内切圆上一动点,求点P到三个顶点A、B、C的距离的平方和的取值范围. 分析及解： 此题的已知条件与结论所求的联系不容易看出来,可先从已知条件入手. 由及正弦定理, 得 ∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B ∵A≠B,∴2A=π-2B,∴A+B=, 又由c=10得及a2+b2=c2得a=6,b=8. ∴ΔABC的内切圆半径, 可画出此直角三角形及内切圆. 那么如何求得内切圆上任一点P到三个顶点A、B、C的距离呢？如何求得距离的平方和的取值范围呢？可考虑建立直角坐标系,从而将几何问题用代数方法来解决. 建立如图所示的直角坐标系. C(0,0),B(6,0),A(0,8),内切圆方程：x2+y2=4. 设P(x,y)为圆上任一点 设Y=|PA|2+|PB|2+|PC|2 =x2+(y-8)2+(x-6)2+y2+x2+y2 =3x2-12x+3y2-16y+100 如何求得Y的最值呢,可考虑换元法求解. ∵x2+y2=4,∴可设x=2cosθ,y=2sinθ ∴ =112-8(3cosθ+4sinθ) = ∵-1≤≤1 ∴72≤Y≤152. 这是一道几何与代数结合的综合题,通过建立直角坐标系,用代数方法解决了几何问题. 二．网上能力训练题 1．能力训练部分 A．基础性训练题 (1)若,则( ) (A)sin2α>sinα (B)cos2αtanα (D)cot2αB的( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 (4)在三角形ABC中,0sin2BsinA>sinBa>b (正弦定理)A>B. (4)B ∵,且cosAcosB>0 ∴sinAsinB0 ∴cosC<0 (5)B (6)B 可判断出,∴,∴cos2α>0. (7)由a、b、c成等差数列得a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB,变形后得 又由A+B+C=π,得 ∴ cosA+2cosB+cosC=(cosA+cosC)+2cosB = 将,代入上式得 . (注：上面求解中利用和差化积公式) (8)∵ 又 ∴ ∴tan2β=cotα 无意义 ∵,, ∴ ∴. (9)由已知：tanα+tanβ=4且tanαtanβ=-1 ∴tan(α+β)=2. 原式= = =. (10)①∵,, ∴ ∴tanC=-tan(A+B)=-1,∴. ②∵tanA>tanB>0,∴A>B,ΔABC中最短边为b,由. ∴. B． (1)  令 ∴ ∴ ∴. (2)30° 将两式两边分别平方后相加得,∴,若C=150°,可设0
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