不等式(二)
第一部分 网上课堂
一．本讲主要内容
不等式的基本性质,公式≥(a>0,b>0)
不等式的证明,方法：
不等式的应用.
二．学习指导
1．在我们的课本中及教学大纲中对不等式证明的方法要求掌握：比较法,综合法,分析法.
而在高考中,纯粹的不等式证明题在近十年的高考试题中均未出现过,往往作为工具与其它数学知识结合,出现在综合题中考查,并且所用方法仅是最常用的方法,简单的放缩法作为一种辅助方法,同学们也应重视.
同学们在复习时,还应熟练掌握几种证明方法的基本思想和证明的步骤.
2．不等式的应用是高考的热点考查内容.不等式与函数的联系密切,常常在这样几方面应用：一是转化为求解不等式(组)的有关问题(如函数的定义域,讨论一元二次方程根的分布等)；二是转化为不等式证明的有关问题(如证明函数的单调性,比较大小等)；三是利用重要不等式解决最值问题.
另外,不等式与数列、不等式与三角函数、不等式与解析几何等结合,都成为综合题、应用题的很好的背景.在知识网络的大环境下,在知识的交汇点命题,是新形势下命题的方向.
3．利用重要不等式≥(a>0,b>0)的极端情形求最值,必须同时满足“正、定、等”三个条件,即a,b均为正数,和或积为定值,等号可以取到.另外应用此不等式的常用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.常见的变形形式≤,≤.
三．例题精析
例1．已知|a|<1,|b|<1,求证：.
[分析及解]这是课本上的一道例题,书上是利用恒等式,采用分析法证明的.
我们可以采用其它的方法进行证明：
方法一：恒等变形.
(∵|a|<1,|b|<1)
方法二：构造不等式
当|b|<1时,解关于x的不等式
.
∵|b|<1,
∴,即|x|<1.
令x=a代入不等式,∴原不等式成立.
方法三：解不等式法
令,由合分比定理.
.
∵|a|<1,|b|<1,
∴1±a>0,1±b>0.
∴,解出-1b,试比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式；(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)这两个函数的定义域的交集是空集,求c的取值范围.
[分析及解](1)由已知a,b∈[-1,1],且a>b,所以比较f(a)与f(b)的大小,实质就是判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性.
∴任取∈[-1,1],当时.
.
由f(x)为奇函数,且,∴,
∴f(x)在[-1,1]上是增函数,
∵a,b∈[-1,1]且a>b,∴f(a)>f(b).
(2)由(1)知函数f(x)的单调性,∴解不等式实质上是将置于自变量取值范围内,并比较其大小.
即等价于,解得≤x≤,
∴原不等式的解集{x|-≤x≤}.
(3)g(x)和h(x)这两个函数均是由已知的f(x)得到的,其定义域应满足f(x)的定义域.
∴g(x)的定义域设为P,P={x|-1≤x-c≤1}={x|c-1≤x≤c+1}
h(x)的定义域设为Q,Q={x|-1≤x-c2≤1}={x|c2-1≤x≤c2+1}
由题意P∩Q=,∴或,
解得c∈∪.
例4．如图15-1,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).
[分析及解]首先根据题意列出水中杂质的质量分数与a,b的关系式后,再转化为求解给定条件的多变元函数的最值问题.
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数,则,其中k>0为比例系数,依题意,即所求的a,b值使y值最小.
∴有4b+2ab+2a=60.(a>0,b>0).
得b=(0|a-b|
(B)|a+b|<|a-b|
(C)|a-b|<||a|-|b||
(D)|a-b|<|a|+|b|
(6)已知,为各项都为正数的等比数列,公比q≠1,则( )
(A)
(B)
(C)
(D)以上都不正确
二．解答题:
(7)设不等式≤0的解集为M,如果M[1,4],求实数a的取值范围.
(8)在某两个正数x、y之间,若插入一个数a,使x、a、y成等差数列；若插入两个数b,c,使x,b,c,y成等比数列,求证：≥(b+1)(c+1).
(9)已知函数,若,且,求证：.
(10)设,函数(-1≤x≤1),
(1)若|a|≤1,证明|f(x)|≤;
(2)求a的值,使函数f(x)有最大值.
(二)提高性训练题:
1．填空题:
(1)制作一个表面积为常数S,底面为正方形的无盖木箱,要使其容积最大时,正方形的边长为_________.
(2)给出下列函数：①∈R)；②；③；④,其中有最小值2的函数的序号是__________.
(3)设条件甲：“,且”,乙：“0<α<1,且1<β<3”,那么甲是乙成立的________条件.
(4)设关于x的方程的两个根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是_________.
(5)若函数的定义域是[-2,4],则函数的定义域是______.
(6)若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,那么实数a的取值范围是_________.
2．解答题:
(7)已知a>b>0,求证：.
(8)已知a,b,c是实数,函数,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.①证明：|c|≤1；②证明：-1≤x≤1时,|g(x)|≤2；③当a>0,-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).
(9)已知a>0,n∈N*,函数,且方程-x=0的两个根,满足,当x∈时,求证：.
(10)某工厂用平炉(用焦炭,同时也用电)或电炉冶炼合金钢,用平炉冶炼每吨钢的费用为s元,用电炉冶炼每吨钢的费用为p元,若每吨焦炭价为x元,工业用电每百度为y元,则x,y与p,s的关系为s=5x+2y+50,p=102y+200,如果平炉比电炉炼一吨钢的费用低或相同,则用平炉生产,否则用电炉生产.①如果平炉与电炉冶炼费用相同,试将每吨焦炭价格表示为百度电费价的函数；②如果每百度工业用电的价格在60元以上,用平炉生产,那么每吨焦炭的最高限价是多少元.
(三)研究性习题:
已知函数.(1)求函数的反函数；(2)如果不等式对[]上的每一个x的值都成立,求实数m的取值范围；(3)设,求函数y=g(x)的最小值及相应的x的值.
二．能力训练题点拨与解答:
(一)基础性训练题:
1．选择题:
(1)A．根据选项的特点,把已知条件00,∴.
若q>1,则,上式>0,若q<1,则,上式>0,∴.
2．解答题:
(7)解：有两种情况：一是M=,则Δ<0；一是M≠,则Δ=0或Δ>0.
设,
.
①当Δ<0时,-10时,a<-1或a>2
则方程两根应在[1,4]区间内,
∴,∴,∴.
由①②③可得,a的范围是(-1,).
(8)证明：由已知：
用x,y表示a,b,c,∴
应用二、三元均值不等式,
≤
=
≤
=.
∴≥(b+1)(c+1).
(9)证明：要证原不等式成立,
只需证：,
即.
∵∈(0,),且≠,
∴
=
=.
∴.
原题得证.
(10)①证明：应用绝对值不等式的性质.
∵|x|≤1,|a|≤1
∴|f(x)|=||≤||+|x|
=≤
=≤.
②解：当a=0时,f(x)=x(-1≤x≤1).
∴f(x)的最大值是1,与题设矛盾,∴a≠0.
∵f(-1)=-1,f(1)=1,
∴f(x)=(-1≤x≤1)有最大值.
即,∴,∴a=-2.
(二)提高性训练题:
1．填空题:
(1).设正方形边长为a,容器高为h,则,又,∴≤=,当且仅当,时,V最大.
(2)序号为②、④,在②中,≥；当x=3时,等号成立；在④中,≥3=2,当x=1时,等号成立.
(3)必要非充分条件.
(4)k>0或k<-4.设,方程f(x)=0的两根为,且,等价于f(x)的图象与x轴有两个交点,且分别在x=1的左、右两侧,因此或,即或,∴k>0或k<-4.
(5)[-,1].
解不等式组,得,∴x∈[-,1].
(6)a≥1,设f(x)=|x-4|-|x-3|,f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值,因为|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1.f(x)的最大值等于1,∴a≥1.
另外：|x-4|-|x-3|可以看作数轴上一个动点到4和3两点距离之差,其最大距离为1,∴a≥1.
2．解答题:
(7)证明：
=
=.
∵a>b>0,∴.
∴,即.
∴,即.
同理可证：.
(8)证明：①由已知-1≤x≤1,|f(x)|≤1,取x=0,得|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.
②当a>0时,g(x)=ax+b,在[-1,1]上是增函数,
∴g(-1)≤g(x)≤g(1),
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2
∴|g(x)|≤2.
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
∴g(-1)≥g(x)≥g(1).
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1
∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2,
g(1)=a+b=f(1)-c≥-(f(1)+|c|)≥-2,
∴|g(x)|≤2.
③∵a>0,则g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.
∵-1≤f(0)=f(1)-2=1-2≤-1, ∴c=f(0)=-1
∵当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
∴直线x=0为二次函数f(x)的对称轴,∴,b=0,a=0,
∴.
(9)证明：①∵,x∈()
∴
∵x∈(),且,
∴,,ax>0
∴,则.
②假设,又x>0Ｌ畀已知,
由①②可知,对一切n∈N*,x∈(0,1)均有不等式成立.
(10)①由题意s=p,得
5x+2y+50=102y+200,
解出.
②用平炉出产时,s≤p,
即5x+2y+50≤102y+200,
∴x≤20y+40
=-20
=-20
∵60≤y≤76,∴0≤≤4,
当,即y=75时,x的最大值应是1530,
∴每百度工业用电的价格在60元以上,用平炉生产时每吨焦炭的最高价是1530元.
(三)研究性习题:
解:(1)由得
∴,∴(00,即m>-1时,只须,即,∴-1
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