直线和圆
第一部分 网上课堂
一．本讲主要内容：
直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式和两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角.点到直线的距离.用二元一次不等式表示平面区域.简单的线性规化问题.曲线与方程的概念.由已知条件列出曲线方程.圆的标准方程和一般方程,圆的参数方程.
二．学习指导
1．高考中对直线方程和圆的方程的考查,主要以选择题、填空题的题型为主.学生要对本章中出现的直线和圆的方程的各种形式熟练掌握,有关概念和公式记牢.主要考查的数学思想方法是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法.
2.倾斜角和斜率都是反映直线相当于x轴正方向倾斜程度的.倾斜角的取值范围是[0°,180°），当倾斜角为90o时,它的正切值不存在,直线没有斜率.说明直角坐标平面上的每一条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率.
可利用直线上任意两点的坐标求直线的斜率,如l上任意两点(x1,y1)(x2,y2),则直线斜率k为,此公式只适用于x1≠x2的两点.
3.选用直线方程的形式时,要注意其适用范围.
①选用点斜式,前提是斜率存在,如：设过点(a,b)的直线方程应设为y-b=k(x-a)或x=a.
②选用两点式,要注意x1≠x2,且y1≠y2的条件,也可将两点式方程表示为：(y-y1)(x-x1)=(x-x1)(y2-y1)
4.准确运用”到角”公式与”夹角”公式.首先公式tan=应用的前提是两条直线的斜率存在.当其中一条直线的斜率不存在时,只要画出图形,运用平面几何知识求出.
在什么情况下运用”到角”或”夹角”公式,要视其具体情况而定,一种情况是题中明确指出求“到角”或“夹角”；一种情况是题中未明确指出,需要自行判断,如求三角形内角,则应该用”到角”而不能用”夹角”公式.
5.判断直线的位置关系容易忽略的问题：
①认为斜率相等是两条直线平行的充要条件,忽略两条直线的斜率相等却重合,或两条直线的斜率都不存在却相互平行的两种特殊情况.
②认为斜率乘积是-1是两条直线垂直的充要条件,而忽略两条直线分别与两坐标轴垂直,其中有一条直线的斜 率不存在的特殊情况.
6.掌握圆的方程的几种形式,根据不同的己知条件,选用不同形式的方程.
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
已知圆的直径的两端点(x1,y1)(x2,y2)：(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)=0
圆的参数方程：
7.高考考查圆的内容常从以下三方面出题：
①依条件求圆的方程；
②判断圆与点,圆与直线,圆与圆的位置关系；
③圆的弦长、切线方程的求法及简单应用.
圆是初中平面几何中的一项重要学习内容,在这里,运用圆的几何特征解决问题,往往使解题方法简单.
如：求出圆心到直线的距离与圆的半径比较,很容易判断直线和圆的位置关系；利用半径、弦心距、弦长之半的关系,求弦长,要比用圆锥曲线的弦长公式求简单.
三．例题精讲
例1．已知点P(a,b)定直线x+y-1=0上的定点,且a≠b,Q(c,d)是直线上的动点,证明：存在实数t使得
[分析及解]
证法一：利用P(a,b) Q(c,d)均为直线x+y-1=0上的点,找到a,b,c,d的关系,确定t值.
∵P(a,b)在直线x+y-1=0上
∴a+b-1=0即b+a-1=0
∴M(b,a)也在x+y-1=0上
由于Q是直线上的动点,则可将Q点看成线段的定比分点,令
根据定比分点公式：
∴令t=
若Q与M重合,则c=b,d=a 故t=0
∴无论Q(c,d)是该直线上哪一点,总有实数t存在,使成立
证法二：由
∵a≠b ∴由式①解得t= ③
将③式代入②式有d= ④
∵(a,b),(c,d)在直线x+y-1=0上
∴a+b=1 c+d=1
说明:④式成立,从而存在实数 t=使
例2．已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x设长为的线段AB在直线l上移动,如图16-1所示,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
[分析及解]由于所求动点轨道为两条直线的交点,可分别将两条直线方程列出,用交轨法求轨迹方程.
设A(a,a),B(a+1,a+1),a为参数
则PA：y-2= ①
QB: y-2= ②
(1)当时,即a=0,PA∥QB,无交点
(2)当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点M(x,y)由(2)式得 代入① 式
整理 x2-y2+2x-2y+8=0
即
当a=-2时,PA：x=-2 QB:y=3x+2 交点(-2,-4)适合轨迹方程.
同理 当a=-1时,也满足轨迹方程.
本题也是采用“设而不求”的方法,设出交点M(x,y),但不求出,用其表示参数a,达到消参的目的.
例3．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能地多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌椅应买多少？
[分析及解]这是一道线性规划求最优解问题,应按步骤：(1)设出变量；(2)根据题意，分别列出线性约束条件和线性目标函数；(3)在直角坐标系中标出可行域；(4)在可行域中找出满足条件的最优解.
设可买桌子x张,椅子y把,桌椅总数z，
∴目标约束条件 z=x+y
约束条件且x,y
将直线x+y=0在可行域内移动,当过直线y=3/2x与50x+20y=2000的交点时,y=-x+z的截距最大,即桌椅总数最多.
∵x、y
x=25,y=37
应买桌子25张,椅子37把.
例4．设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3：1,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
[分析及解]该题是求圆的方程,由(1)(2)条件,可得圆心的轨迹方程,再求轨迹上到直线l距离最小的点的坐标,最后 求出半径,写出圆的方程.
设圆的圆心P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.
由题设知圆P被x轴截得的劣弧所对的圆心角为90o,故圆P截x轴所得的弦长为r,
∴b2=r2-()2=
又圆P截y轴所得的弦长为2.
∴a2=r2-1 两式联立,消去r,得2b2-a2=1
又点P(a,b)到直线l:x-2y=0的题意为d=
∴5d2=|a-2b|2
=a2-4ab+4b2
≥a2+4b2-2(a2+b2)
=2b2-a2=1
当且仅当,a=b时等号成立 ∴d2=1/5取得最小值.
∴解得
由b2=r2/2 r2=2
符合题意的圆方程为：(x-1)2+(y-1)2=2 (x+1)2+(y+1)2=2
这道题是97年的高考题,题目中所给的条件比较新颖,必须综合和灵活地运用有关的代数知识和几何知识,将条件恰当转化,建立方程,注重运算技巧,才能顺利解出.
第二部分 网上能力训练题
一.能力训练部分
(一)基础性训练题
1．选择题:
(1)下列四个命题中的真命题是( )
A．经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)来表示；
B．经过任意两个不同的点，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.
C．不经过原点的直线都可以用方程表示.
D．经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.
(2)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充分必要条件是( )
A．A1A2+B1B2=0 B.A1A2－B1B2=0
C． D.
(3)己知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是( )
A．bx+ay+c=0 B.ax-by+c=0
C．bx+ay-c=0 D.bx-ay+c=0
(4)直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0交于两点A、B,则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x-3y-2=0 B.4x-3y-6=0
C．4x+3y+6=0 D.3x+4y+8=0
(5)已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,则ΔAPB面积的最大值和最小值分别是( )
A．2,(4-)/2 B.(4+)/2,(4-)/2
C．/2,4- D.(+2)/2,(-2)/2
(6)若过点(3,1)总可作两条直线和圆(x-2k)2+(y-k)2=k(k>0)相切,则k的取值范围是( )
A．(0,2) B.(1,2)
C．(-∞,1)∪(2,+∞) D.(0,1) ∪(2,+∞)
2．解答题:
(7)如图16-2,射线OA,OB与x正半轴的夹角分别为45o和30o,过点P(1,0)的直线l分别交OA,OB于点A,B.(1)当线段AB的中点为P时,求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x/2上时,求l的方程.
(8)设集合L={l|直线l与直线y=2x相交,且以交点的横坐标为斜率}(1)点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？(2)a∈R+,点P(-2,a)到L中的直线的距离最小值记为dmin,求dmin的解析式.
(9)自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.
(10)方程D：x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0.(1)当t为何值时,方程D表示圆；(2)若方程D表示圆,t为何值时圆的半径最大？并求出此时圆的方程.
(二)提高性训练题
1．填空题:
(1)已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且,又P是线段OB的中点则点B的坐标是________.
(2)不论m取何实数,动直线(2-m)x+(m+1)y-(4+m)=0必定都经过定点______.
(3)ΔABC的顶点为A(x1,y2),B(x2,y2),C(x3,y3)有一点P,使PA2+PB2+PC2最小,则P点的坐标为______.
(4)直线l经过点P(1,1)且与两坐标轴所截得的两截距相等,则直线l的方程为_______.
(5)动点P到圆x2+y2=9的切线长与P点到直线x=2的距离相等,则动点P的轨迹方程是______.
(6)若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围____.
2．解答题:
(7)当x为何值时,函数f(x)=有最小值.
(8)已知定点A(0,3)动点B在直线l1:y=1上,动点C在直线l2:y=-1上,且∠BAC=90o,求三角形ABC面积的最小值.
(9)有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低时,求P地居民选择A地或B地购货总费相等时“点P”所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点？
(10)设圆C的方程x2+y2-2x其中0<θ<π,若θ1,θ2,θ3是公差不为零的等差数列,当θ依次取θ1,θ2,θ3时,所对应的圆C的半径依次为r1,r2,r3,试问：r1,r2,r3能否成等比数列？
(三)研究性习题
已知二次函数y=f(x)在x=(t-2)/2处取得最小值(t>0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1(g(x)为多项式,n∈N*)试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,……),{rn}是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn,Sn.
二．能力训练题点拨与解答.
(一)基础性训练题
1．选择题:
(1)B 当直线斜率k不存在时,A、C、D中直线方程不真.
(2)A 无论两条直线的斜率是否存在,用A1A2+B1B2=0都可以判断两直线的斜率是否存在.
(3)A 根据角平分线性质,l1和l2关于y=x对称,所以选择A的方程.
(4)B 所求线段AB的垂直平分线一定过圆心(0,-2),且k=4/3,观察四个选项,一定为B
(5)B 设点P(1+cosθ,sinθ).则过AB的直线方程为y=2x+2∵|AB|是定长∴P点到|AB|的距离最小(大),则SΔPAB的最小(大)
∵d=
∴dmax=1+的最大值为最小值为
(6)D 设A(3,1),圆心O(2k,k),只要|AO|>r =即可满足题设条件,所以k<|AO|2∴k<(2k-3)2+(k-1)2,整理2k2+15k+10>0,则k∈(0,1)∪(2,+∞)
2.解答题:
(7)解：射线OA：y=x(x≥0).OB：y=-.
①设A(x1,x1),B(x2,-)由中点坐标公式求得x1=A点坐标(-1,-1) B点坐标(3-,1-)
②∵AB的中点在直线y=x/2上,
(8)解:①设l与y=2x的交点为(k,2k),由已知l:y-2k=k(x-k)即 kx-y-k2+2k=0
设点(-3,2)到l的距离为d,则当且仅当k=0时,等号成立
∴点(-2,2)到直线y=0的距离最小.
②设点P(-2,a)到l的距离为d.由①知
(i)当a≥2时,当且仅当k2=a-2时,等号成立,dmin=2
(ii)当00,即[-2(t+3)]2+[2(1-4t2)]2-4(16t4+9)>0化简得7t2-6t-1<0,当-1/7
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