直线与圆锥曲线
第一部分 网上课堂
一. 本讲主要内容
直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆相离、相切、相交；直线与圆锥曲
线的相交。
二. 学习指导
1．对于直线与圆的位置关系，往往从其几何特征考虑问题，要比从代数特
征去考虑容易得多。如：利用圆心到直线的距离与圆的半径比较，判断直线与
圆的位置关系，比用解方程组求解要简单。
2．直线与圆锥曲线相交弦的弦长可用下面公式来解：设斜率为k的直线与
圆锥曲线交于A、B两点，A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB=（）；
应用这个公式时，要注意使用韦达定理。
3．在给定的圆锥曲线f(x,y)=0中，求中点为(m,n)的弦AB所在直线方程时
，可设A(),B(x2,y2),利用A,B在曲线上，得到f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0及x1+x2=2m,
y1+y2=2n,可求出,最后用点斜式写出AB的方程。
4．与焦点弦有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，已知直线与圆锥曲
线的某些关系求圆锥曲线的方程时，常利用待定系数法。
5．给出曲线上的点到直线的最短（长）距离或求动点到直线的最短（长）
距离时，可归结为求函数的最值问题，也可借助图形的性质来解决。
三. 例题精讲
例1.如图，已知点A(-1,0),B(0,2)，l是过A且斜率为k的直线，l与半圆C:
x2+y2-8x=0(y0) 交于P,Q两点，线段PQ中点为M
(1)求使l与C相交情况下，k的取值范围;
(2)过M,B的直线与x轴交于N点，求当N在A点左侧时，直线l的斜率
k的取值范围。
[分析及解]（1）l与C相交，即l的直线方程与半圆方程有两个不同解，由已知可得半圆方程 ①,设l的方程为y=k(x-1)② 联立式①②,消y得,化简 ③
解得或（舍）
l与C相交的条件
（2）若求N在A点左侧时l的k的取值范围，应满足点M的纵坐标大于B点的纵坐标2,设, 由(1)问③式可得,，令解得由(1)
问知,k的取值范围是.
例2.已知点在双曲线上，且它和双曲线一个焦点F的距
离是1.（1）求双曲线方程；（2）过点F的直线L，交双曲线于A,B两点，若弦
长不超过4，求L的倾角范围
[分析及解]（1）若求双曲线方程，由已知P在双曲线上和P与焦点F距离
为1,及关系式可求得a,b的值.
设双曲线方程的焦点F(c,0)由题意
① P在双曲线上, ② 联立①②，
可得,双曲线方程为.
（2）过点F的直线L与双曲线交于A、B两点,可利用圆锥曲线的弦长公式将k的关系式表示出，利用其，解得k的取值范围，但是要考虑到，利用点斜式设直线方程时，要考虑斜率是否存在，进行分类讨论，不能忽视斜率不存在的情况.
(i)当直线L斜率存在时，设L为代入双曲线方程，得
即 则 解得或或
倾角的范围是,,.
(ii)当直线L的斜率不存在时,即L的方程为得
直线也满足题意，.
由（i）（ii）直线L的倾角范围
例3. 长度为a的线段AB两端点在抛物线上运动，以
AB的中点C为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆C的最小半径.
[分析及解]依题意，若求圆C的最小半径，即求C点纵坐标与的和的最
小值，只需求出C点纵坐标的最小值.
解法一 设A，B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则中点C的坐标(x,y)
满足.
,
由已知 得
∴
又
整理得关于的一元二次方程
故C点纵坐标的最小值为，所求圆的半径
即最小半径为.
解法二 设
即 点C的纵坐标为
②
圆的最小半径
此解法是利用均值不等式求最值，将配凑成
，利用积为定值，和有最小值，求得最值。
例4. 椭圆的右焦点F(c,0),离心率,过F作直线l交椭圆于A,B两点，P为线段AB的中点，O为坐标原点，当面积的最大值为时，求椭圆、直线l的方程.
[分析及解]若求的最大面积，则要建立的面积的函数，通过
求函数的最大值，确定椭圆及直线方程中的参数.
椭圆的离心率,
由
设椭圆方程即 ①
直线l过焦点F(c,0) 设直线l的方程为x=my+c ②
将②代入① 整理:
P为AB中点，由韦达定理知
的最大值为
当即时，面积最大.
直线l的方程为
椭圆方程为
第二部分 网上能力训练题
一．能力训练部分
（一）基础性训练题
1．选择题:
（1）已知直线x-y+t=0与椭圆相交于A,B两点，则弦AB长的最大值是（ ）
(A)1 (B) (C) (D)
（2）已知直线x+3y=7,kx-y-2=0,若它们与x轴,y轴所围成的四边形有外接圆，则实数k的值等于（ ）
(A)-6 (B)-3 (C)3 (D)6
（3）过原点的直线l与双曲线交于两点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（4）若过点(3,1)总可作两直线和圆相切，则k的取值范围是（ ）
(A)(0,2) (B)(1,2) (C) (D)
（5）过双曲线的左焦点作直线l,交双曲线于P,Q两点，若，则这样的直线l共有（ ）
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
（6）已知曲线和直线ax+by+1=0(a,b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图像可能是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2．解答题:
（7）已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.
（8）如图，设圆o:，直线l:x=2，动点P到圆o的切线长与P到直线l的距离d满足:是常数)
①求动点P的轨迹方程,
②说明轨迹是什么曲线.
（9）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知一边AB在直线y=x+4上，C,D在抛物线y2=x上，求正方形的面积.
（10）已知椭圆的一个顶点是A（0，-1），焦点在x轴上，且右焦点到直线
的距离是3
①求椭圆的方程；
②设点P(0,m),试将点P到椭圆上的点M的最大距离d表示为m的函数.
（二）提高性训练题:
1．填空题:
（1）设椭圆的右焦点为F1,右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是__________.
（2）已知曲线C与曲线关于直线x-y=0对称，则曲线C的焦点坐标是__________.
（3）过椭圆的左焦点F1作一条长为的弦MN，将椭圆沿其左准线在椭圆所在平面上旋转，则弦MN扫过的面积是__________.
（4）在抛物线上有一点P，使点P到直线4x-y-5=0的距离为最短，则点P的坐标是__________.
（5）设双曲线的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为,则双曲线的离心率为__________.
（6）给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②;③④,
其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是__________.
2．解答题:
（7）已知椭圆，过其左焦点F1且斜率为的直线与椭圆及其准线分别交于A,B,C,D(如图)，证.
①求f(m)的解析式.
②求f(m)的最大值和最小值.
（8）已知双曲线，抛物线C2的顶点在原点，焦点F与C1右焦点重合.
①求证：曲线C1与曲线C2总有两个不同的交点；
②直线l过点F且与C2相交于A,B,试问：是否存在使的面积为6的
直线l？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由.
（9）①动直线y=a与抛物线相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线段AB中点M的轨迹C的方程.
②过点D(2,0)的直线l交上述轨迹C于P,Q两点，E点坐标是(1,0)，若
∠EPQ的面积为4,求直线l的倾斜角的值.
（10）已知双曲线C的实轴在直线y=2上，由点A(-4,4)发出的三束光线射到x轴上的点P,Q及坐标原点O，被x轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点F1,F2和双曲线的中心M，若，又过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为，求双曲线C的方程和入射光线AP,AQ所在直线的方程.
（三）研究性习题:
如图，已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A为圆心，
1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A’与点A关于直线y=x对称，设直线l过点A，斜率为k.
①求双曲线S的方程；
②当k=1时，在双曲线S的上支上求点B,使其与直线l 的距离为；
③当时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B的直线l的距离
为，求斜率k的值及相应的点B的坐标.
二．能力训练题点拨与解答
（一）基础性训练题
1．选择题.
（1）C. 把直线y=x+t代入椭圆 整理得
利用弦长公式
（2）C. 根据平面几何知识可知，对角互补的四边形为圆内接四边形，直线
kx+y-2=0为过定点(0,-2)的直线系，当时,即k=3满足条件.
（3）A. 双曲线的渐近线为 过原点直线与双曲线无交点的区域是两渐近线所夹部分，,则所求k的取值范围为.
（4）D. 设A(3,1),圆心O(2k,k)，只要即可满足题意，,化简得 或.
（5）C. ,且焦点弦长2m, 直线与双曲线一支相交时，只有一条，而双曲线的实轴2a=2<2m, 直线与双曲线两支都有交点时，直线有两条且关于x轴对称，总共有3条.
（6）C. 若a,b同号，则需a>0,b>0，四个图中无符合要求的，若a,b异号，A,B显然不对,比较C,D选项，D中直线与双曲线的位置使a,b的取值不一致，D错,选C.
2．解答题.
（7）解：如图，设抛物线C：,且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，设l:y=kx().设分别是A,B关于L的对称点.
关于y=kx的对称点A(-1,0).
则 ,解得
同理可得的坐标为
又在抛物线C上
得
整理得
直线方程为，
抛物线方程为.
（8）解①设动点P(x,y),由题设得：
整理得
②当时,方程为,表示顶点为,焦点为，开口向左的抛物线
当时，方程为 表示中心在,实半轴长、虚半轴长分别为，，焦点在x轴上的双曲线.
当时，方程为 它表示中心在，长半轴长、短半轴长分别为，，焦点在x轴上的椭圆.
（9）解：由正方形对边平行，可设CD:y=x+b代入抛物线方程,消去x,得
设则
由两平行线距离公式知，AB与CD的距离为.
即,解得b=-2或-6
或50
（10）解①设椭圆方程,右焦点F(c,0).到直线的距离为
椭圆的方程为
②设M(x,y)是椭圆上一点，则于是
.
是关于y的二次函数，其图像为开口向下的抛物线，对称轴方程为.
点M在椭圆上,
当,即m>2时，y=-1,为最大值
当,即时，为最大值
当,即m<-2时，y=1,为最大值
（二）提高性训练题
1．填空题
（1） 由题意F1(c,0),.
由
.
（2） 两曲线关于y=x对称.曲线的点（x,y）,关于y=x的对称点为(y,x).C的方程为,
C的焦点坐标为
（3） 左焦点F1(-2,0).所求面积的圆形侧面积的，∴
==6π.
（4） 设
当,即时,d最小.
（5）2 设直线
解设
（6）②③④ ①中的直线斜率为-2,与y=-2x-3平行，其它用画图的方法可知相交.
2．解答题
（7）解①设点A,B,C,D在x轴上的射影分别为
代入得
整理得
② 在[1,4]上是减函数.
（8）解①双曲线得,
右焦点
抛物线C2的方程为
由方程组 ①
消y ②
,且.
方程②有一适合条件的正根.
因此方程组①有两个不同的解，与总有两个不同的交点
②直线AB不与y轴垂直，设其方程为
将AB的方程代入抛物线C2的方程，得
设，则，
当时，存在使面积为6的直线l.
（9）解①设动点M(x,y),由中点公式得(a为参数).消参数a，得曲线c的轨迹方程为.
②设直线l的方程y=k(x-2).
l与抛物线有两个交点,代入得.
恒成立，令此方程两实根y1,y2,则
又点E到直线l的距离
的面积为
解得 .
或.
（10）解：设双曲线中心M(h,2),点A(-4,4)关于x轴的对称点为,
直线AO关于x轴的对称直线方程y=x. 直线的方程为y=x与y=2联立,得h=2.
设双曲线方程为，焦点F1(2-c,2),F2(2+c,2),右准线.
令y=0,
由,得c=3. 在中,令,得.在中,由c=3,得
所求双曲线方程为.直线
（三）研究性习题
解:①由已知可得双曲线的两条渐近线且
双曲线方程
②设是双曲线S上支上到直线的距离为的点，由点到直线距离公式，有 解设
③当时，双曲线S的上支在直线l的上方，B在直线l的上方.
设直线与直线平行，两线间的距离为，且直线在直线l的上方，双曲线S的上支上有且仅有一个点B到直线l的距离为，等价于直线与双曲线的上支有且仅有一个公共点.
设的方程为y=kx+m.
由l上的点A到的距离为,可知
解得
直线在直线l的上方,
由方程组 消去y,得.
,令
由 解得k=0,k=,当k=0时,,解得x=0, ,此时点B的坐标为
当k=时，,解得，此时点B的坐标为.
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