空间线面位置关系
第一部分 网上课堂
一．本讲主要内容
平面及其基本性质.(三个公理、三个推论)平面图形直观图的画法.
平行直线、对应边分别平行的角、异面直线所成的角、异面直线的公垂线、异面直线的距离.
直线和平面平行的判定与性质,直线和平面垂直的判定与性质,点到平面的距离,斜线在平面上的射影,直线和平面所成的角,三垂线定理及其逆定理.
平面与平面平行的判定与性质,平行平面间的距离,二面角及其平面角,两个平面垂直的判定与性质.
二．学习指导
1．本讲知识网络
2．本讲内容在历年的数学高考试题中约占立体几何总分的70%以上,试题特点是：融推理论证于几何量的计算之中,以推理论证为主；融线、面关系与立体图形之中,以线面关系的分析为主.试题以中等难度为主,兼有少量的容易题,考题主要分两类,一类是空间线面关系的判断、推理；一类是几何量(如角度、距离、面积、体积等)的计算.试题主要体现了立体几何学科特点的通性通法,突出了化归思想、转化思想,以及反证法、割补法、模型法等思想和方法.
3．熟练掌握线线、线面、面面位置关系的判定和性质定理,是学好立体几何的首要条件,同学一方面可以沿着教科书的讲解顺序,将定理记牢、记熟,一方面也可以从不同的角度总结规律性的知识,例如：可从下面几方面复习定理.
(1)证平行的方法：(i)证线线平行的方法；(ii)证线面平行的方法；(iii)证面面平行的方法.
(2)证垂直的方法：(i)证线线垂直的方法；(ii)证线面垂直的方法；(iii)证面面垂直的方法.
(3)求角度的方法：(i)求异面直线成角的方法；(ii)求直线与平面所成角的方法；(iii)求二面角的平面角方法.
(4)求距离的方法：(i)求两条异面直线间的距离的方法；(ii)求点到平面的距离的方法；(iii)求平行线面间的距离的方法；(iv)求两平行平面间的距离的方法.
用以上专题小结的方法复习知识,便于掌握知识间的联系,互相转化,熟练运用.
4．在求一些几何量的计算题中,要按照作图、证明、计算这样三个步骤进行,特别是第二步的证明必不可少.对所求的几何量的概念要深刻理解,才能使作图正确,求准数值.如：掌握直线和平面所成的角的概念,要注意作垂线、找射影,所夹锐角三方面才能找准角.
立体几何中求点面距离,异面直线间距离、线面距离、面面距离均可以相互转化,常用垂面法和等体积法来求.
三．例题精讲
例1．如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,
∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.
①若AE⊥PD,E为垂足,求证：BE⊥PD.
②求异面直线AE与CD所成角的大小(用反三角函数表示).
[分析及解]①要证BE⊥PD,须采用证线线垂直,找线面垂直的方法.
证法一：∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB,
∵AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD.
又∵AE⊥PD,∴DP⊥平面ABE,∴BE⊥PD.
证法二：∵AB⊥AD,又∵AB⊥AP,
∴AB⊥平面PAD,∵AE⊥PD,AE为BE在平面PAD的射影,∴BE⊥PD.
②求异面直线成角,要利用平移,使两条异面直线相交,求所夹角的度数.
设G、H分别为ED,AD的中点,连结BH,HG,GB.
∵AD∥BC,AD=2BC,∴DHCD,∴BH∥CD.
∵G,H分别为ED,AD的中点,∴HG∥AE,
∴∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角.
∵HG=AE=a,BH=
∵∠EDA=30°,∴AE=AD=a,ED=a
∴.
在ΔBHG中,由余弦定理可得
.
∴∠BHG=.
异面直线AE,CD所成的角为.
例2．如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a,且
∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求：
①二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示)
②点A到平面PBC的距离
[分析及解]①要求二面角大小,先找二面角的平面角,由已知PA⊥底面ABCD,可利用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角.
在平面ABCD内,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连结PE,由PA⊥平面ABCD,则PE⊥CD.∴∠PEA是二面角P-CD-A的平面角.
在RtΔDAE中,AD=3a,∠ADC=,则AE=AD.
在RtΔPAE中,.
∴二面角P-CD-A的大小为,
②要求点到平面的距离,常用垂面法,即找过点且垂直于平面的另一个平面,在此面内过已知点作两面交线的垂线,根据面面垂直的性质定理,找出点到面的距离.
在平面PAB中,过点A作AH⊥PB,垂足为H.
由PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,PA⊥BC,则有BC⊥平面PAB,又AH平面PAB,∴BC⊥AH,又AH⊥PB,∴AH⊥平面PBC.
∴线段AH的长即为点A到平面PBC的距离在等腰RtΔPAB中,AH=,∴A点到平面PBC的距离为.
例3．如图,边长AC=3,BC=4,AB=5的三角形简易遮阳棚,其A,B是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°,试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD面积最大？
[分析及解]由已知条件易知ΔABC为直角三角形,过C点引AB的垂线,垂足为a,则DQ为CD在地面上的射影,且AB⊥平面CQD.
∵太阳光与地面成30°角,∴∠CDQ=30°.
在ΔCQD中,CQ=,由正弦定理,
得,即QD=.
为了使面ABD的面积最大,需QD最大,只有当∠QCD=90°时,才能达到,∴∠CQD=60°,故当遮阳棚ABC与地面成60°角时,才能保证遮影面ABD面积最大.
可将遮阳棚看成是南北向的平面,而太阳光线从正西方向射出,只有当遮阳棚所在平面与太阳光线垂直时,才能挡住最多的光线,被遮阳的地面面积才能最大.
例4．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,MN分别是AB、PC的中点
①求证：MN⊥AB
②若平面PDC与平面ABCD成
45°角,求证平面MND⊥平面PDC
[分析及解]①本问可以有多种证法,复习不同的知识点.
证法一：取AC的中点O,连结NO,MO,则NO∥PA,MO∥BC,由题设PA⊥底面AC,BC⊥AB,∴NO⊥底面AC,MO⊥AB,又MO是MN在平面AC内的射影,∴AB⊥MN(三垂线定理).
证法二：取CD中点E,连结ME,NE,则ME∥AD,NE∥PD,∴平面MNE∥平面PAD,∵AB⊥平面PAD.∴AB⊥平面MNE,∴AB⊥MN.
证法三：作NF∥CD,交PD于F,则F是PD的中点,连AF,则FNCDAM,∴四边形AMNF是平行四边形,∴AF∥MN,又易证AB⊥平面PAD,∴AB⊥AF,∴AB⊥MN.
证法四：由法二可知面MNE∥平面PAD,由法三知FN∥MA,则AMNF共面,∴AF∥MN,而AB⊥AF,∴AB⊥MN.
证法五：连结AC,AN,易知AN是RtΔPAC的斜边的中线,∴AN=PC.
连结PB,BN,易知BN是RtΔPBC斜边的中线,∴BN=PC,∴AN=BN,M为AB中点,∴AB⊥MN.
证法六：取PB中点G,连GM,GN,则GM∥PA,GN∥BC,易知PA⊥AB,BC⊥AB,∴AB⊥GM,AB⊥GN,∴AB⊥平面GMN,∴AB⊥MN.
以上几种证法,分别采用<1>要证线线垂直,先找线面垂直；<2>一条直线和两平行线中的一条垂直,也垂直于另一条；<3>三垂线定理；<4>平面几何中等腰三角形,底边的三线合一性质.
②∵ABCD是矩形,∴AD⊥CD,又∵PA⊥平面ABCD,AD为PD在底面ABCD的射影,∴CD⊥PD,∴∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成的二面角的平面角,∠PDA=45°,∴PA=AD.
连结PM,MC,∵AM=BM,BC=AD=PA.
∴RtΔPAM≌ΔCBM,∴MP=MC,N为PC的中点,∴MN⊥PC,由①MN⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD,则MN⊥平面PDC,MN平面MND,∴平面MND⊥平面PDC.
第二部分 网上能力训练题
一．能力训练部分
(一)基础性训练题
1．选择题
(1)设a,b是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )
(A)有且仅有一条直线与a,b都垂直
(B)有一平面与a,b都垂直
(C)过直线a有且仅有一平面与b平行
(D)过空间任一点必可做一条直线与a,b都相交
(2)设有直线m,n和平面α,β,则在下列命题中,正确的是( )
(A)若m∥n,mα,nβ,则α∥β
(B)若m⊥α,m⊥β,nβ,则α∥β
(C)若m∥n,n⊥β,nα,则α⊥β
(D)若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β
(3)如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=A1B1,则BE1与DF1所成的角的余弦值是( )
(A) (B)
(C) (D)
(4)如图,ABCD- A1B1C1D1是正方体,AD1与对角面DD1B1B所成的角是( )
(A) (B)
(C) (D)
(5)如图所示的正方体中,M,N分别是AA1,CC1的中点,作四边形D1MBN,则四边形D1MBN在有关平面上的下列正投影图形中,不正确的是( )
(6)正方体AC1的棱长为1,记d1为B1到面D1DC的距离,d2为D1到面B1DC的距离,d3为BD到面CB1D1的距离,则d1,d2,d3的大小关系为( )
(A)d1
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