空间几何体
第一部分 网上课堂
一．本讲主要内容
多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球
二．学习指导
1．空间几何体是直线与平面关系的继续和深入,也是高考立体几何的生长点,所以高考中,立体几何试题大多以多面体和旋转体为载体,融线面关系与几何体之中,融推理论证于几何量的计算之中,重视在图形的变式和非标准状态下运用概念和性质进行推理和计算.柱体和锥体中的线面关系及面积、体积的计算大多以中等难度的解答题出现.归纳思想和参数思想是立体几何中基本的数学思想.做题时,要注意解答的规范化,要加强论证表达能力的培养和训练.
2．对几何体的定义应从其反映的几何体的本质去把握.
①学会从底面、侧面、棱(侧棱)和截面四个方面去掌握几何体的性质,能应用这些性质去研究几何体中的线面关系
②归纳总结并掌握好正棱锥中的四个直角三角形所反映的几何体中的元素及元素间的位置关系、数量关系
③对于简单多面体、旋转体的“切”、“接”问题,要归纳总结相应的常用问题思路方法,会解决同类问题.
3．善于联想基本图形及现实空间的模型来考虑问题,使得较抽象的问题具体化.
例如一个棱锥两两垂直的三棱锥的底面上有一点,它到三棱锥的距离分别为a,b,c,求该点到棱锥顶点间的距离,我们可把它置于长方体的一个角处来考虑
又如求到空间不共面四点距离相等的平面的个数问题,我们可把这四个点看作一个三棱锥的四个顶点,使问题具体化而考虑简便
4．立体几何中的最值问题主要包括曲面上两点间的最短线问题；最大或最小角问题；有关面积和体积的最大最小值问题,主要解决办法：①将立体图形的侧面展开成平面图形,利用平面几何中有关最值方法求解；②寻求对立体图形内各有关元素之间的位置,数量关系的分析,列出于所求最值有关的函数解析式,运用代数中求函数最值问题的方法来解决.总之,要遵循“正确作图,仔细分析,确定变量,建立函数,准确求解”的原则,熟练解决问题.
三．例题精讲
例1．已知斜三棱柱ABC——A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,
∠ABC=90°,BC=2,AC=,且A1A⊥A1C,A1A=A1C
(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小
(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小
(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离
[分析及解]
(1)要求A1A与底面ABC所成角的大小,需先做出此角,必须过A1A上点做底面ABC的垂线,由已知侧面A1ACC1与底面ABC垂直,由面面垂直性质定理,过A1做A1D⊥交线AC,D为垂足,∴A1D⊥底面ABC,AD为A1A在底面ABC的射影，∴∠A1AD为A1A与底面ABC所成的角,∵A1A⊥A1C,且A1A=A1C,∴∠A1AD=45°
要求二面角的大小,也需先作出此二面角,由(1)已证A1D⊥底面ABC,则可利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角
过D作,垂足为E,连结A1E,则根据三垂线定理,AB, ∴为面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知ABBC, ∴DE∥BC, ∵D为AC中点 ∴∴∴,即为所求.
(3)过点C作CH平面A1ABB1,垂足为H,则CH的长是点C到平面A1ABB1的距离.
连结HB,由于ABBC,得ABHB,又A1EAB ∴A1E∥HB, 且BC∥ED ∴.则.
例2. 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,,,m是CC1的中点,求证: AB1A1M.
[分析及解]通过补充图形,将分散的条件集中起来.
如图,延长BA至D,使BA=AD,作DD1AA1,连A1D1.
∵ADB1A1 ∴AB1∥DA1
又∵
∴DM2=A1M2+A1D2.
即A1DA1M ∴AB1A1M
另解: 在直三棱柱中, B1C1C1A1, ∴B1C1侧面AA1C1C, ∴斜线AB1在侧面AA1C1C的射影为AC1若能证出AC1A1M,则由三垂线定理可得A1MAB1,利用平面几何知识可证出AC1A1M.
例3. 在平面直角坐标系xoy内,有四点A(5,0),B(-3,0),C(0,-4),D(-4,-3),现将此平面沿y轴折成直二面角,(1)求AD与BC所成的角; (2)若BC,OD相交于E,作EFAD,垂足为F,求证: EF为两导面直线AD,BC的公垂线段,并求EF的长;(3)求三棱锥C-AOD的体积.
[分析及解]解决折叠问题要洞察由平面图形过渡到立体图形后,线面关系及几何量的变与不变,且. ∴ODBC.
(1) ∵平面AOC平面OBDC,为它们的交线 又∵AOOC, ∴AO平面OBDC.
∴OD为AO在平面OBCD上的射影.
∵, ∴BCOD.
由三垂线定理,可得BCAD.
∴AD与BC所成的角为.
(2)∵AO平面OBDC, ∴AOBC.
又BCOD ∴BC平面AOD, BCEF, 又EFAD.
∴EF为异面直线AD与BC的公垂线段.
在Rt中,OE为斜边BC上的高 ∴.
在Rt中, OA=5, ∴
∴为等腰直角三角形.
又DE=OD-OE= ∴EF=DE·sin45°=
(3)∵OC=4,D到OC的距离为4
∴ 又AO⊥平面OCD,AO=5
∴
例4.正方形ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、AA1的中点,求证：(1)EG∥平面BB1D1D
(2)平面BDF⊥平面AA1C1C
(3)A1O⊥平面BDF(O为AC与BD的交点)
(4)平面BDF⊥平面AA1C1C
(5)若MN是异面直线AC和A1D的公垂线,求证：MN∥BD1
[分析及解](1)要证线面平行,或利用线面平行的判定定理,或利用面面平行的性质定理均可证出.
如图,设O1 为B1D1的中点,连结BO1、O1G
∵, ∴
∴四边形O1GEB为平行四边形,∴EG∥BO1,又BO1平面BB1D1D,
则EG∥面BB1D1D
(2)要证面面平行,一般有三种途径：一是利用面面平行的判定定理,二是利用垂直于同一条直线的两平面平行,三是利用平行平面的传递性.
如图,∵
∴四边形BB1D1D是平行四边形,
∴B1D1∥BD
设P为BB1的中点,连AP，DF,∵
∴四边形APFD为平行四边形,∴DF∥AP
同理B1H∥AP ∴B1H∥DF 又B1H∩B1D1=B1 ,BD∩DF=D,
∴面BDF∥面B1D1H
(3)要证线面垂直,一般有四种途径：一是利用线面垂直的判定定理,二是利用面面垂直的性质定理,三是利用面面平行的性质定理,四是同一法.
由三垂线定理可知：A1O⊥BD
如图,分别在Rt△A1C1F,
Rt△A1AO,
Rt△FCO中,
,
,,满足A1O2+FO2=A1F2
∴A1O⊥FO ∴A1O⊥面BDF
(4)∵A1O面AA1C1C ∴面BDF⊥面AA1C1C
(5)证明线线平行,有五种途径：一是平面几何的方法(往往利用平行四边形的性质)；二是利用公理4；三是利用线面垂直的性质定理；四是利用线面平行的性质定理；五是利用面面平行的性质定理
如图,连结AB1、B1C、AC,易证BD1⊥面ACB1,又MN是AC与A1D的公垂线.
∴MN⊥AC,MN⊥A1D,又A1D∥B1C
∴MN⊥B1C,∴MN⊥面ACB1,则MN∥BD1
第二部分 网上能力训练题
一．能力训练部分
(一)基础性训练题
1．选择题
(1)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角相等,且顶点S在底面的投影O在△ABC内,那么O是△ABC的( )
(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心
(2)若有一个长方体的全面积是22,体积是8,则这样的长方体( )
(A)有一个 (B)有两个 (C)有无数个 (D)不存在
(3)已知甲烷的分子结构是：中心为一个碳原子,外围有4个氢原子(这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点)设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ,则cosθ=( )
(A) (B) (C) (D)
(4)如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,
EF∥AB,EF=,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为( )
(A) (B)5 (C)6 (D)
(5)如图,圆柱的高为2cm,底面半径为3cm,AE,DF是两条母线,B、C是下底面圆上的两点,如果ABCD是正方形,那么以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体的体积是( )
(A) (B)
(C) (D)
(6)在北纬45°纬度圈上有M，N两点,点M在东经20°,点N在西经
70°,若地球半径是R,则M,N两点的球面距离是( )
(A) (B) (C) (D)
2．解答题:
(7)棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,求过D1,E,F三点的正方体的截面面积.
(8)已知三棱锥S-ABC的三条侧棱的长均为a,若∠BSC=α,∠CSA=β,
∠ASB=,且,
(1)求证：平面SAB⊥平面ABC,(2)求三棱锥S-ABC的体积.
(9)如图,三棱锥P-ABC的二面角P-AC-B的大小为θ.已知AC=a,PB⊥AC,PB与底面ABC成30°,ΔPAC的面积为S,问当θ为何值时,ΔABC的面积取得最大值？并求出最大值.
(10)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=1,C点到AB1的距离为CE=,D为AB的中点,(1)求证：AB1⊥平面CED；(2)求异面直线AB1与CD之间的距离；(3)求三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积.
(二)提高性训练题
1．填空题:
(1)如图,在正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,FG⊥BC,D,H,G为垂足,若将正三角形ABC绕AD旋转一周所得的圆锥的体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V的比值是___________.
(2)在体积为V的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,已知S是侧棱CC1上的一点,过S,A,B的截面截得的三棱锥的体积为V1,那么过点S,A1,B1的截面截得的三棱柱的体积是____________.
(3)如图,圆柱的轴截面是矩形ABCD,点E在圆柱下底面圆周上且异于A,B两点,F在DE上,当直线FA垂直于________时,直线FA与平面BDE所成的角为90°.
(4)自半径为R的球面上一点P,引球的三条两两垂直的弦PA,PB,PC,则PA2+PB2+PC2=___________________.
(5)如图,AB=BC=AC=BD=CD=1,二面角A-BC-D为x,当x∈(0,π)变化时,所构成的三棱锥A-BCD的体积为y,则函数y的解析式应为__________.
(6)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6倍,经过这3个点的小圆的周长为4π,则这个球的半径为_______________.
2．解答题:
(7)要制造一个容积为立方米的无盖圆柱形水桶,用来作桶底的圆形铁片每平方米价格为3元,做侧面的铁片每平方米价格为2元,按照怎样的尺寸做桶,才能使成本最低？
(8)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是直角三角形,∠ACB=90°,AC=2BC,A1B⊥B1C,AA1=2,①求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；②求B1C与侧面A1ABB1所成的角.
(9)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a,PA=PC=,①求证：PD⊥平面AC；②求异面直线PB与AC所成的角；③求二面角A-PB-D的大小；④在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径.
(10)如图,圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB,Q为底面圆周上一点.①QB的中点为C,OH⊥SC,H为垂足,求证：OH⊥平面SBQ；②若∠AOQ=60°,QB=,求此圆锥的体积；③若二面角A-SB-Q的大小为θ,且,求∠AOQ的大小.
(三)研究性习题
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,
且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°
①证明：C1C=BD；②假定CD=2,CC1=,证面C1BD为α,而CBD为β,求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；③当的值是多少时,能使AC1⊥平面C1BD？请证明.
二．能力训练题点拨与解答
(一)基础性训练题
1．选择题
(1)D
从顶点S分别向底面引垂线,向底边引垂线,由三垂线定理及射影定理可知,投影O到ΔABC三边的距离都相等,∴O是ΔABC的内心.
(2)D
设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,依题意有2ab+2bc+2ac=22 ①,abc=8 ②,由于ab+bc+ac≥,而ab+bc+ca=11,∴这样的长方体不存在.
(3)C
构造正四面体ABCD,O是其中心,
=.(H为底面的中心)
(4)D
如图,在AB,CD上分别取M,N,使BM=CN=EF,则多面体BCF-MNE为斜三棱柱,其直截面面积为S=×3×2=3.
∴.
(5)A
令ABCD边长为x,∴,∴,,.
(6)A
如图,,
∴MN的球面距离为.
2．解答题
(7)解：如图,先作截面D1HEFG,连结BD,交EF与K,连O1K,则D1EFG在底面的射影是DAEFC,其面积.
∵DK⊥EF.∴由三垂线定理有D1K⊥EF.
∴截面与底面所成二面角的平面角θ=∠D1KD.
∵DK=,.
∴.
.
(8)解：①如图,∵,且三棱锥侧棱长均为a,∴,即,∴∠ACB=90°,∵SA=SB=SC,∴S到底面ABC的射影应落在RtΔACB的斜边BA的中点上,设垂足为H,而SH平面SAB,∴平面SAB⊥底面ABC.
②连结CH,SH=
∴.
(9)解：过B作BD⊥AC于D,连结PD,
∵AC⊥BP,BP∩BD=B,∴AC⊥平面PDB
又∵PD平面BDP,∴AC⊥PD,
∴∠PDB为二面角P-AC-B的平面角,即∠PDB=θ,
∵AC⊥平面PDB,AC平面ABC,
∴平面PDB⊥平面ABC,且交线为BD,
过P在平面PDB中作PO⊥BD于O,
∴PO⊥平面ABC,OB是PB在底面ABC上射影,且∠POB=90°,∴∠PBO为锐角,且为PB与底面所成的角,即∠PBO=30°.
在ΔPDB中,由正弦定理,得,∴BD=.
又∵,即,∴,代入BD=.
∵0°<θ<180°
∴-30°<150°-θ<150°
当150°-θ=90°,即θ=60°时,BD最大为,∴的最大值为.
(10)证：①D为AB的中点,即CD⊥AB,∵AA1⊥平面ABC,∴CD⊥A1A,∴CD⊥平面A1B1BA,∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1,∴AB1⊥平面CED.
②∵CD⊥平面A1B1BA,∴ED⊥CD,又AB1⊥平面CED,∴ED⊥AB1,则ED是异面直线AB1与CD之间的公垂线段.
∵CE=,CD=,∴ED=
∴异面直线AB1与CD之间的距离为.
③在RtΔCEA中,CE=,BC=AC=1,
∴∠B1AC=60°,AB1=
∴BB1=
∴.
(二)提高性训练题
1．填空题
(1)
设正三角形边长为2,其高,旋转半径BD=1,V=,又EF=1,HD=,HE=,则HGEF旋转所得圆柱的体积为,由阴影部分产生的旋转体的体积为,∴.
(2)
设,斜三棱柱高为h,三棱锥S-ABC高为h1,则有V=Sh,,∴.
(3)FA⊥BD或DE,易证FA⊥BE,∴只需证FA⊥BD或DE,则FA⊥面BDE.
(4)4R2
由于PA、PB、PC两两垂直,则将其看成球内接长方体的长、宽、高,∴.
(5), .
(6)
依题意,由球面距离的概念知,球心和球面上的三个点构成一个正四面体,球面上的三个点构成一个内接于周长为4π的圆的正三角形.由正弦定理求得正三角形的边长为,则球半径为.
2．解答题
(7)解：设圆柱形桶的高为h(米),底面半径为R(米),则有：.
成本：.
∵(定值)
∴当,即时,y有最小值,此时.
∴按(米),(米)下料时,做桶既符合要求,且用料最省.
(8)解：①依题意,A1C1⊥CC1,A1C1⊥BC,∴A1C1⊥平面BB1C1C,∴BC1是斜线A1B在平面BB1C1C的射影,由已知B1C⊥A1B,根据三垂线逆定理,∴BC1⊥B1C,∴四边形B1BCC1为正方形,AA1=BC=2,.
②∵平面ABC⊥平面ABB1A1,且高线为AB,作CH⊥AB,H为垂足,∴CH⊥平面ABB1A1,
连结B1H,则∠CB1H为直线B1C与平面ABB1A1所成的角,设θ=∠CB1H,.
在RtΔABC中,,
∵B1C=,∴
∴.
(9)解：①∵PC=,PD=DC=a,∴ΔPDC是直角Δ,∴PD⊥DC,同理PD⊥DA,而AD∩DC=D,∴PD⊥平面AC.
②连结BD,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,又PD⊥平面AC,∴BD是PB在平面AC的射影,由三垂线定理,得PB⊥AC,∴PB与AC成90°角.
③设AC∩BD=O,作AE⊥PB于E,连结OE,∵AC⊥BD,又PD⊥平面AC,AC平面AC,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴OE是AE在平面PDB上的射影,由三垂线逆定理,∴OE⊥PB,∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角.又AB=a,PA=,PB=,∵PD⊥平面AC,DA⊥AB,∴PA⊥AB,在RtΔPAB中,AE=,∴AE=,AO=,,∴,∴二面角A-PB-O的平面角为60°.
④设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面相切,设球心为S,连结SA,SB,SC,SD,SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,它们的高均为R,
=.
∴,∴.
(10)证①连结OC,∵C为QB中点,且OQ=OB,∴OC⊥QB,且SO⊥QB,∴QB⊥平面SOC,∵OH平面SOC,∴QB⊥OH,∵OH⊥SC,SC∩QB=C,∴OH⊥平面SBQ.
②∵∠AOQ=60°,∴∠QOB=120°,则QB=,QB=,∴R=2.
∵SAB为等腰RtΔ,∴SA=SB=,∴SO=2,.
③过Q作QM⊥AB,垂足为M；再过M作MP⊥SB,垂足为P,连结PQ,则PQ⊥SB.
∴∠MPQ是二面角A-SB-Q的平面角.
∴∠MPQ=.
设底面半径为R,∠AOQ=α,在RtΔOMQ中,QM=R,OM=R,
在RtΔMPB中,∠PBM=45°,MB=R(1+)
∴MP=,∴.
∴,即,∴α=60°,即∠AOQ=60°,
(三)研究性习题
证明：(1)如图,连结A1C1,AC,AC和BD交于O,连结C1O,∵四边形是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD.又∵∠BCC1=∠DCC1,CC1=CC1,ΔC1BC≌ΔC1DC,∴C1B=C1D,∵DO=OB,∴C1O⊥BD.
但AC⊥BD,AC∩C1O=O,又C1C平面AC1,∴C1C⊥BD.
(2)由(1)知AC⊥BD,C1D⊥BD
∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角,
在ΔC1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60°
∴C1B2=.
∵∠OCB=30°,∴OB=BC=1,∴C1O=C1B2-OB2=,
∴,.
作C1H⊥OC,垂足为H,∴点H是OC的中点,且,.
(3)由(1)知,BD⊥平面AC1,∵AC1平面AC1,∴BD⊥A1C.
当时,平行六面体的六个面是全等的菱形,同BD⊥A1C证法,可得BC1⊥A1C,且BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面CBD.
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