排列、组合、二项式定理 概率
第一部分 网上课堂
一．本讲主要内容
分类计数原理、分步计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式、组合数的两个性质、二项式定理、二项展开式的性质.
随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.
二．学习指导
1．历届高考试卷中,排列、组合、二项式定理主要以选择、填空两种题型出现、排列、组合为2道题,二项式定理为1道题,且排列、组合题目常与集合、立体等其他知识相结合出一些综合题.
概率是新教材新增添的内容,二000年高考(天津卷)考了一道大题,与高三限选离散型随机变量内容综合,考了一道填空题,共14分,将近占总分的10%,估计概率与排列、组合综合题将会是今后高考的一个方向.
2．复习这部分内容要注意以下几点：
(1)理解和掌握两个基本原理.
两个原理的共同点是把一个原事件分解成若干个分事件来完成,不同点是加法原理将事件分类,而乘法原理将事件分步.
(2)熟练掌握排列数与组合数公式和性质.
(3)加深理解排列组合的区别与联系,熟练掌握排列组合应用题的常用解法.
(4)加深理解二项式定理,熟练掌握其通项公式.
3．解排列组合的应用题,其基本思维是“先选之,再排队”,要注意四点：
(1)仔细审题,判断是组合还是排列；要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步；
(2)深入分析,全面考虑,注意分清是乘还是加.
(3)对于条件较复杂的排列组合问题,要把其分解成若干简单的基本问题后再解决；
对于有附加条件的排列组合问题,通常从三个途径考虑问题的解决办法.
(i)以元素为主考虑,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素；
(ii)以位置为主考虑,先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置；
(iii)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不合要求的排列或组合数.
前两种为直接解法,后一种为间接解法.
(4)采用多种不同的方法求解,看看结果是否相同,来验证所做题目.检查对排列组合分类时,分类标准是否统一,应防止出现遗漏和重复.
4．解决与二项式有关的问题,关键是灵活地运用好它的通项公式,在运算中应重视正、负号的选取,重视根式和指数的运算,熟练掌握二项式系数的性质.
若求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1.
用二项式定理处理与整除性有关的问题,通常把底数按模的余数来分类.
关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法.
5．对于随机事件的概率,同学们应主要把握等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,n次独立重复实验四种类型.
运用概率公式时,要注意分析其成立的条件,对于复杂事件的概率计算,要分清其事件的构成及概率的转化,熟悉“至少有一个发生”“至少有一个不发生”“恰有一个发生”“都发生”“不都发生”及“都不发生”等词语的意义.
三．例题精析
例1．计算由0,1,2,3,4这5个数字组成没有重复数字的四位数时,出现以下的四种结果：
(1) (2) (3) (4)
这些结果中正确的是哪几个？
[分析及解]这道题可从不同的角度去考虑,(1)排除法 四位数的千位上的数不能是0,这是一个限制条件,如果先不考虑这个条件,从0,1,2,3,4这5个数字任取4个构成四位数,可有个,但其中有数字0在千位的情况.如果数字0在千位上,则这样的四位数有个,可将这些不符合要求的数去掉，所求四位数有个,(1)正确.(2)元素分析法 将0作为特殊元素单独拿出,将四位数分成含数字0和不含数字0的两类,这样两种情况可有个,(2)正确.(3)位置分析法 四位数有四个位置,以位置为主考虑所选元素,千位上不能是0,则从1,2,3,4中选,有种办法,只要千位数字确定,从剩下4个数字中任选3个做为后面百位、十位、个位上的数字,有种情况,所以共有个,(4)正确.
例2．在的展开式中,第5、6、7项的系数成等差数列,求展开式中不含x的项.
[分析及解]这道题条件中未给出二项式的次数,要求展开式中的某一项,需先根据条件确定二项式的次数n,再运用通项公式求解.
依题意,(n≥6)
由组合数公式
化简得： ∴n=14,n=7
当n=7时,设展开式中不含x的项为第r+1项
令,∴r=4
当n=14时,同理
令,∴r=8 .
例3．从数字1,2,3,4,7,9中任取5个数字组成没有重复数字的五位数,计算：
(1)这样的五位数为奇数的概率是多少？
(2)这样的五位数各个数位上的数字之和在[22,25)内的概率是多少？
(3)这样的五位数大于13000的概率是多少？
[分析及解]这是一道求等可能性事件的概率的题目.需先求出所有可能情况,即从1,2,3,4,7,9六个数字中任取5个,组成没有重复数字的五位数,有个.
(1)五位数中共有奇数=480个,所求五位数的概率.
(2)从1,2,3,4,7,9中任取5个数字相加,有种不同的和“17,19,22,23,24,25”满足在区间[22,25)内的有3个,这样的五位数有个,∴所求概率.
(3)比13000大的数只有两种可能：一是万位上的数字取1,此时千位上的数字可取3,4,7,9的任一个,均大于13000,一是万位上的数字为2,3,4,7,9中的任一个,这样的五位数共有,∴所求概率.
例4．有4位同学,每人买一张有奖贺年明信片,求至少有2位同学明信片末位数字相同的概率.
[分析及解]事件A“至少有2位同学明信片末位数字相同”,其对立事件是“4位同学所买明信片的末位数字各不同”.显然求此对立事件的概率要容易.
每人所买明信片的末位数字有可能为0～9这10个数字,故基本事件的总数有个,若末位数字全不相同,则第一位的末位数字有10种情况,第二位只能有9种情况,第三位只能有8种情况,第四位有7种情况：∴,∴.
则4位同学每人买一张贺年明信片,其中至少有2人末位数字相同的概率为.
第二部分 网上能力训练题
一．能力训练部分
(一)基础性训练题
1．选择题:
(1)从5双不同的袜子中任取4只,使至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是( )
(A)20 (B)30 (C)130 (D)140
(2)用1,3,5三个数字中的数组成无重复数字的自然数,再以这些自然数中的若干个元素组成非空集合,这样的集合数目是( )
(A)26 (B)215 (C)26-1 (D)215-1
(3)某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观,每天只安排一所学校,其中一所人数较多的学校要连续参观3天,其余学校均只参观1天,则在这20天内不同的安排方法( )
(A)种 (B)种
(C)种 (D)种
(4)如果的展开式中,只有第6项的系数为最大,那么不含x的项是( )
(A)462 (B)252 (C)210 (D)10
(5)甲射手射击一次,击中目标的概率是；乙射手射击一次,击中目标的概率是.甲、乙两射手各射击一次,那么是( )
(A)甲、乙两射手都击中目标的概率
(B)甲、乙两射手都没击中目标的概率
(C)甲、乙恰有一射手击中目标的概率
(D)甲、乙两射手没有都击中目标的概率
(6)在某段时间内,甲地下雨的概率是p,乙地下雨的概率是q,且在这段时间内甲、乙两地是否下雨相互间没有影响,那么在这段时间内甲、乙地都不下雨的概率是( )
(A)1-(p+q) (B)1-pq (C)(1-p)(1-q) (C)
2．解答题:
(7)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各一面,按不同次序排列可组成不同的信号,并且可以用1面信号旗,2面信号旗或3面信号旗组成信号,求：①这里组成的信号是由1面信号旗或2面信号旗组成的概率是多少；②这里组成的信号不是由1面信号旗组成的概率是多少？
(8)在的展开式中,求使项的系数取得最小值时a的值.
(9)n是两位数,的展开式中含有常数项,对任何一个满足上述条件的n,都把展开,求所有展开式中二项式系数之和.
(10)甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求：①两个人都译出密码的概率；②两个人都译不出密码的概率；③恰有一个人译出密码的概率；④至多一个人译出密码的概率；⑤若要达到译出密码的概率为,至少需要多少个乙这样的人.
(二)提高性训练题
1．填空题:
(1)把10个人平均分成两组,再从每组中选正、副组长各1人,问有多少种不同的选法？
(2)设(i是虚数单位),则=__________.
(3)设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球投放入这五个盒内,要求每个盒内投入一球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为__________.
(4)把标有a,b,c,d,…的8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学,其中a,b不赠给同一人,c,d也不赠给同一人,则不同的赠送方法有______种.
(5)某位篮球运动员每次投篮命中的概率是0.4,共投10次,则这10次投篮命中的最多次数是____________,10次投篮命中的次数最大的概率是_____.
(6)书架上有不同的中文书9本,不同的英文书7本,不同的日文书5本.从这个书架上任意抽取两本书,这两本书不是同一种文字的概率是___________.
2．解答题:
(7)为了测试甲、乙两名篮球运动员投定位球的水平,在罚球线上让他们各投篮10次,甲投中7次,乙投中6次,如果让甲、乙依照各自的水平再投篮3次,求：①甲运动员恰好投中2次的概率是多少？②两名运动员都恰好投中2次的概率是多少？(结果保留两个有效数字)
(8)用二项式定理证明 (n∈N*,n>1)能被676整除.
(9)①已知函数,证明：对于任意不小于3的自然数n,都有.
②已知a,b为正实数,且,试证：对每一个n∈N*,都有≥.
(10)设在一袋子内装有5只白球,5只黑球,从这袋子内任意取球5次,每次取一只,每次取出的球又立即放回袋子中,求在这5次取球中(结果保留两个有效数字)①取得白球3次的概率；②至少有1次取得白球的概率.
(三)研究性习题
在长度为a的线段内任取两点将线段分为三段,求它们可以构成三角形的概率.
二．能力训练题点拨与解答
(一)基础性训练题
1．选择题
(1)C
满足要求的取法有两类,一类是4只中恰有2只配对,即从5双中任取了一双,再从其余4双中任取2双并从每双中又各取1只,共可以有种取法；另一类是4只恰好配成2双,这样的取法有种,∴由加法原理有种.
(2)D
自然数的个数有个,∴所有非空集合的数目为215-1.
(3)A
因为一所人数较多的学校要连续参观3天,其余7所学校应排在剩余17天中,有种.将参观连续3天看作一天,将17天和在一起共18天,从中任选一天为,∴共种方法.
(4)B
展开式中共有13项,则n=12,,令36-6r=0,∴r=6,.
(5)D
(A)的概率为,(B)的概率为,(C)的概率为,(D)的概率为,∴(D)正确.
(6)C
相互独立事件同时发生的概率.
2．解答题
(7)解：①
②.
(8)解：按1+x与ax2展开,令x4项的系数为,∴当a=-1时,最小值为-5.
(9)解：由通项公式
(r=0,1,2,…,n).
由5n-8r=0,∴n=,且n为两位数,
∴
r
10 15 20 … 55 60
n
16 24 32 … 88 96
共11个值.
∴
(10)解：①, ②
③ ④
⑤ n=16.
(二)提高性训练题
1．填空题
(1)50400
10个人平均分成两组,有种分法,从5个人中选正、副组长各1人,各有种选法.∴.
(2)243
∵,且|-i|=1,
∴.
(3)20
球的编号与盒子编号相同的号码有种不同的确定方法,而余下的3个放入盒中,使球号与盒号不一样的放法只有两种,由乘法原理得符合题意要求的投入方法总数为.
(4)24
将a、b、c、d分成ac,ad,bc,bd四组.再从剩下的4件中选两件组成一组,.
(5)4
约为0.25,投篮命中最大次数是,投篮命中次数最大的概率为.
(6)
.
2．解答题
(7)解：设事件A：甲运动员投篮1次,投中.
事件B：乙运动员投篮1次,投中.
∴P(A)=0.7,P(B)=0.6
(1)
(2).
(8)证明：
=
=
=
=
∴能被676整除.
(9)证明：①要证∈N,n≥3),即要证.
即证 (n≥3)
∵
∴
∵,,当n≥3时,
∴(n≥3),∴.
②设
+…+
=
≥
=
∵ a>0,b>0,∴ab≥4
∴≥
∴≥
∴原式得证.
(10)解：记“取球一次得白球”为事件A,
“取球一次得黑球”为事件B.
∴P(A)=P(B)=,.
①P5(3)=
②.
(三)研究性习题
在长度为a的线段内任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率.
设构成三角形的事件为A,线段a被分成三段,长度分别为x,y,a-(x+y).
则0a-(x+y)
即x+y>.
∴.
由一个三角形两边之差小于第三边
x-[a-(x+y)]
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