常用的数学思想和方法：
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常用的数学思想和方法：
1．配方法、待定系数法、换元法:
配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.
配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可以找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.
待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.
换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.
例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).
(A) (B) (C)5 (D)6
分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得：
2(xy+yz+zx)=11,
4(x+y+z)=24.
而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.
故： =62-11=25
∴ ,应选C.
例2．设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( ).
(A)1 (B) (C)2 (D)
分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什么呢？
由∠F1PF2=90°,得 (2),
又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.
即,
故
∴ ,
∴ 选(A).
注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.
例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.
分析及解：由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成： (1),故只需求出a可求解.
设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|= (2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.
由(3)式有(y≥a或y≤-a).
二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.
(1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,
∴令,得a2=4
∴所求双曲线方程为.
(2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,
∴令,得a2=49,
∴所求双曲线方程为.
注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.
例4．设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式.
分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.
设一次函数y=f(x)=ax+b (a>0),
可知 ,
∴.
比较系数可知：
解此方程组,得 ,b=2,
∴所求f(x)=.
例5．如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线(x>0,y>0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.
分析及解：设A(x,y),如图所示,则(4-x)(4-y) (1)
此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢？有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.
如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy (2)
这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.
因此,只需设t=x+y,则xy=,代入(2)式得
S=16-4t+ (3)
S表示为变量t的二次函数,
∵01 (C)k∈R (D)k=或k=1
2．在直角坐标系内有两点A(-1,m),B(-1,3),点A在抛物线x2=2py上,F为抛物线的焦点,若|AB|+|AF|=,则m的值为( ).
(A) (B) (C)1 (D)不能确定
3．已知,则f(4)的值是( ).
(A) (B) (C) (D)
4．关于x的方程(a)有实根的充要条件为( ).
(A)a≥-4 (B)-4≤a<0 (C)-3≤a<0 (D)以上都不对
5．设函数能表示成y=Asin(ωx+)的形式(0≤θ<π),则实数m的值为____________.
6．的展开式中的常数项_________.
7．设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若≥3,求k的取值范围.
8．已知椭圆的一个顶点A的坐标为(0,-1),且右焦点F到直线x-y+=0的距离为3,试问能否找到一条斜率为k(k≠0)的直线,使l与已知椭圆交于不同两点M,N且满足|AM|=|AN|.
9．双曲线以原点为中心,坐标轴为对称轴,且与圆交于点A(4,-1),如果圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的方程.
10．已知a>0,且a≠1,解关于x的不等式：.
11．设关于x的函数
(1)求函数y的最大值M(a)；
(2)是否存在正常数b(b≠1),使a∈(1,+)时,的最大值是.
12．若关于x的方程有模为1的虚根,求实数a的值及方程的根.
13．点P(x,y)在椭圆上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.
14．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.
15．设集合A={}
(1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B；
(2)当a∈B时,不等式x2-5x-60,
解得 -11时, ；
当01)
(2)当a∈(1,+)时,M(a)=a2-4a+13,
当a=2时,M(a)有最小值9,
∴要使在a∈(1,+)上有最大值必须b∈(0,1),若b存在,则,求得 ,故有满足要求.
12．原方程可化为
,
令t=,则t∈R,
方程为 (*)
∵方程有虚根,
∴Δ=,即-80且方程化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a,
则Δ=0 或
即a=1或a≤0,从而B=(-,0]∪{1}.
(2)当a=1时,0恒成立,故 ≤4.
综上讨论,x的取值范围是(,4].
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