常用的数学思想方法
——数形结合的思想方法
一.数形结合的思想方法
数形结合思想就是把代数上的“数（式）”与几何上的“形”结合起来，认识问题、解决问题的一种思想.
数形结合并非胡乱结合,而是以“数”的几何意义为基础的,往往涉及到解析几何的许多基础知识(两点间的距离、斜率、曲线方程等).
数形结合的应用大致可分为两种情形: 或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.数与形两者之中,一个为手段(方法),一个为目的.
数形结合是认识问题理解题意的重要手段,一些抽象的数学表达式一旦与形结合起来,对它的意义和认识就可以变得清晰起来,容易产生解题设想并形成解题思路,或者直接观测到结果,是一种很有意义的解题方法.
在解数学题时,进行数形结合,往往有三个途径:
(1)通过坐标系.如:直角坐标系中,有可联想到两点连线的斜率,
可想到两点间距离.复平面中为复数所对应的两点间的距离.
(2)转化.把正数a看成距离,(或ab)看成面积,或(abc)看成体积,看成勾股定理,与余弦定理相联系,转化为三角形的三边.
(3)构造.构造一个几何图形,或构造函数.
数形结合是一种数学意识,是认识数学、理解数学的必然要求,是非常重要的数学素质,同学们应加强培养和练习,做到“胸中有形”.对于一些较简单的问题,不一定必须画出图形,只需在脑海里形成图形即可作出判断.而对一些较为复杂、涉及到两个以上的形往往需要画出图形,并借助图形展开直觉思维.
数形结合既具有数学学科的鲜明特点,又是数学研究的常用方法.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直觉，形少数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事非.”
纵观多年来的高考试题,利用数形结合思想解题比比皆是,希望同学们树立起数形结合的思想,学会巧妙地运用它解题.
在高考中,用数形结合思想解题常有下面几种类型:
(1)利用图形求解的个数.
(2)利用图形求最值.
(3)利用图形求参数的范围.
(4)利用图形解不等式.
(5)利用图形求值.
二.例题精析
例1.(90高考)已知h>0,命题甲:两个实数a,b满足命题乙:两个实数a,b满足且那么甲是乙的( )
(A)充分条件 (B)必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
[分析及解]命题甲:即在数轴上表示点在和两点之间,命题乙:且在数轴上表示点和b-1在和h之间,a,b若满足乙,则必满足甲; 但若满足甲,却未必满足乙,所以甲是乙的必要条件,而不是乙的充分条件.选B.
这道题主要考查不等式概念和性质及充分必要条件.利用实数与数轴上的点的一一对应关系,借助于形表示数,从而使问题简化.
例2.(90广东)如果函数在区间上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
(A)a≥-3 (B)a≤-3 (C)a≤5 (D)a≥3
[分析及解]可画出f(x)的草图,对称轴为,开口向上,若使函数在上是减函数,则区间在对称轴的左侧,即≤,∴≤-3.
选B.
此题若不结合图形,只是按单调性的概念理解,则需利用单调性的定义去证,求解过程繁琐,特别对于一道选择题,就得不偿失了.
例3.正三棱锥S-ABC,其相邻二侧面所成的二面角为,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
[分析及解]正三棱锥S-ABC,作SO底面ABC,则O是ABC的中心,作BDSC于D,连结AD,则ADSC, ∴是相邻二侧面所成二面角的平面角,
设AC=BC=CA=a, ∴BD=AD=在中，
为了确定的范围，必须确定的范围.
∵SB=SC=SA, 则
∵SB>BO, ∴
∴
∵且余弦函数在上是减函数,
∴
∵ ∴
∴即 ∴
∴ 即
∴选C.
显然这种解法太复杂,不符合选择题应采用的方法,若从图形入手,想象三棱锥顶点S沿射线OS运动,当S逐渐接近于O时,两侧面SBC与SAC逐渐趋近于底面BOC与AOC,它们所成的二面角趋近于底面,而当S沿射线向无限远运动时,SB,SC,SA趋向于平行,且垂直于底面,则三棱锥趋向于正三棱柱,其相邻二侧面所成二面角,可以无限趋近于以SC为棱的正三棱柱相邻两侧面所成的二面角,其值为∴
此题若用正规的计算是很复杂的一道题,若从图形入手,将代数的极限思想应用于图形中,则很合理地推测出结果.
例4.已知满足条件求的最大值与最小值.
[分析及解]本题中可以看成是满足椭圆方程的点的坐标,求的最值,可采用椭圆的参数方程设点坐标,利用三角函数求最值.
设 (为参数)
∴
∴的最大值为13,最小值为-13.
如果利用方程与曲线的对应关系,令,则,可将原问题转化为在椭圆找一点,使过该点的直线斜率为3,且在y轴上有最大截距或最小截距,由图可知,当直线与椭圆相切时,有最大或最小截距.
消,
令,解得
∴在求二元函数在有关条件下的最值问题时,可采用本例的构造直线截距的办法来解决.
例5.设已知求的最大值及此时的值.
[分析及解]本题已知复数所对应的动点在以原点为圆心,以2为半径的圆上运动,两定点也在此圆上, ∴分别表示圆上任一异于A,B的动点P与A,B两点的线段的长度.
∴
又∵或,由图形知,当,点P位于)时,
∴
∴当时, 的最大值等于
例6.求的值.
[分析及解]本题结构与余弦定理形式相似,联想构造三角形用余弦定理来解.
∵且则以为内角构造一个三角形.设角的对边分别为外接圆半径为R,则
由余弦定理,得+
化简
三.能力训练题
(一)选择题:
1.复数的一个立方根是它的另外两个立方根是( )
(A) (B)
(C) (D)
2.如果实数x,y满足那么的最大值是( )
(A) (B) (C) (D)
3.这三个数的大小顺序是( )
(A) (B)
(C) (D)
4.把复数对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是( )
(A) (B)
(C) (D)
5.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间
[-7,-3]上是( )
(A)增函数且最小值-5
(B)增函数且最大值-5
(C)减函数且最小值-5
(D)减函数且最大值-5
6.如图,是周期为的三角函数的图象,那么f(x)可以写成( )
(A) (B)
(C) (D)
7.方程的实数解的个数是( )
(A) 1 (B)2 (C)3 (D)以上都不对
8.若,则下列不等式中哪个是正确的( )
(A) (B)
(C) (D)
(二)填空题:
9.不等式≥的解集为 .
10.设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,若当≤1时,则当时, .
11.如果那么的值等于 .
12.若方程只有一个实数解,则常数的取值范围 .
13.四面体的一个顶点为A1,从其它顶点与各棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有 .
14.函数的值域是 .
(三)解答题:
15.已知,试求方程有解时的取值范围,其中方程为
16.已知表示的两曲线有公共点,求半径的最大值和最小值.
17.已知复数满足,求的模与辐角主值的范围.
18.求函数的值域.
19.解不等式
20.对于表示三者中的最小值,求的表达式及最大值.
四.能力训练题点拨与解答
(一)选择题:
1.D. 的三个立方根在复平面上的对应点A,B,C均匀分布在单位圆上,即
ABC为正三角形. ∵,,
∴B,C两点对应的复数分别为∴的另两个立方根是
2.D.将看成点与原点连线的斜率,问题便转化为动点Q在圆P上移动,求直线OQ斜率的最大值,观察图形可知,当Q在第一象限,且OQ与圆P相切时,OQ的斜率最大,此时OQOP,∴
3.C.在同一坐标系画出,,的图象,当时,显然有
4.B.如图,旋转后向量在第四象限，并且靠近轴，在A,B,C,D中，B,C是第四象限，而B靠近轴.
5.B.由奇函数的图象性质,可画出函数f(x)的图象,观察出f(x)在区间
[-7,-3]上是增函数,且最大值为-5.
6.D.从图中可以看出,在四个选项中,不满足,也不满足,不满足只有满足
7.C.令,,在同一坐标系中作出其图象,它们在≤0时有两个交点,在(5,6)区间内还有一个交点,注意作图要力求准确.
8.C.可在同一坐标系中画出三种函数在区间的图象,比较其大小,也可在单位圆中,画出三角函数线比较.
(二)填空题:
9.{x|-5≤≤
在同一坐标系里分别作出与,结合图形易见,当-5≤
≤时,≥,只需求出,即方程=的解,=
10.
由已知可画出函数图象,在直线右侧(即时)
的图象是以(2,1)为顶点的抛物线的一部分,
∴时,
11.
∵∴在第II象限, ∴又
∴在第III象限, ∴
12..
设y1=kx(y1>0),y2=(x+1)2,在的情况下,当与的图象在轴上方的部分相切时,令方程的判别式为零,∴k=4,或直线y=kx中的时,两曲线只有一个公共点.
13.33种.符合条件的四个点,有两类不同的情况,(1)这四个点在四面体的一个侧面上,这时有种不同的取法,即有30种取法,(2)这四个点不在四面体的一个侧面上,而是由一条棱和这条棱的对棱的中点所确定的平面上(如ABE),这样的取法有3种,由加法原理知,所求不同取法33种.
14.-2≤≤
把y看作是过两点A(-3,4),B()直线的斜率,而求得
∴-2≤≤
(三)解答题:
15.解:法一:将方程变形为若使方程有解,则需满足
解得 或
法二：令,要使方程有解,则两曲线要有交点.
如图,只须满足或,即或
16.解:化为∴它表示中心在O(0,0),长半轴为2,短半轴为1的椭圆,而方程表示圆心在A(4,0).半径为r的同心圆系,要使两曲线有公共点,只须2≤r≤6,即
17.解:复数在复平面上对应的图形是以点C(2,2)为圆心,为半径的圆,其方程为
由图易知,的最值应在过原点与圆心C(2,2)的直线与圆的交点处取得,即
∴≤≤.
当z对应点在圆上变化时，当直线与圆C相切时，在切点处辐角取得最大值，由解得,∴≤≤
18.解:函数的定义域为[-1,1],设(0≤≤),
∴
∴可将函数y看作A(-2,0)和B()的连线的斜率,其中点B在半圆≥0)上运动,当直线AB与半圆≥0)相切时, 的最大值为当直线AB与x轴重合时,取得最小值为0, ∴
19.解:将不等式变形为,令,在同一坐标系中画出两函数图象,当-2≤≤2时有解,若,即观察y1的图象在y2的下方部分,可得:时,不等式的解为当≥2时,不等式的解集是空集.
20.解:
≤
f(x)= ≤
≤
作图如下:
由图观察求交点:
∴当时,
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