常用的数学思想方法
——分类讨论思想
一. 分类讨论思想:
在解题时,由于受到各种因素的制约,往往不能再用同一条性质、或一个定理、或一个公式、或一种方法去解决,因为这时被研究的问题包含了多种可能的情况,就需将问题分成若干个局部问题,分别在每个局部问题中去解题,这就是分类讨论思想.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想在人的思维发展中有着重要的作用.纵观近几年的高考,分类讨论思想在高考中占有重要的地方,且在总体上有逐年加重的趋势.这种趋势产生的根本原因是: 一. 具有明显的逻辑性特点; 二. 有训练人的思维条理性、综合性、探索性的功能; 三. 此类题目与生产实践联系密切,加强对学生分析能力的考查,有助于高校选拔人才. 因此,分类讨论将会是高考命题的热点之一.
分类讨论的原则: 注意分类对象的确定性、分类的标准应统一、明确,注重分类的完备性、纯粹性和层次性,即做到不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.
分类讨论方法的一般步骤:
(1)确定讨论对象的全体;
(2)确立分类标准,进行正确、科学地分类;
(3)逐类讨论,得出局部结论;
(4)归纳小结,综合整体结论.
需要运用分类讨论思想来解决的数学问题,引起分类讨论的原因,大致可归结为以下几种:
(1)由数学概念引起的分类:
如;复数的代数形式 ,当b≠0时,z为虚数,当b=0时,z为实数,将复数集分类定义;直线和平面所成的角;当直线与平面斜交时, 是直线和直线在平面内的射影所成的角,,当直线与平面垂直时, ,当直线在平面内或与平面平行时,,对于二次曲线,当参数A,B,C,D,E,F取不同数值时,分别表示不同的曲线.
(2)由数学定理、公式或运算性质、法则引起的分类.
如: 等比数列的前n项和公式,应为;不等式左右两边同乘除一个数,必须分清是0,还是正数,负数;
(3)由函数的性质引起的分类.
如函数的定义域,象分段函数;函数的单调性,.当a>1时,y为增函数,当00, 使得成立,并证明你的结论.
[分析及解]要证,即证,则需用到等比数列前n项和公式,因而要注意分q=1与两类情况去证.
证法一: (I)设{an}的公比为q,则a1>0,q>0, (1)当q=1时,Sn=na1, ∴. ∴. 原式得证.
(2)当时,
∴
∴,原式得证.
由(1)(2)知
(II)由
∴ 则可将数列{Sn-C}. 看成是各项为正数等比数列.
若q=1,则Sn=na1,代入上式,得,而,不论C取何值,{Sn-C}也不可能是等比数列.
若q≠1,则,. 若使{Sn-C}为等比数列,当且仅当. 即 ,若C>0,由于a1>0, ∴00, 使得等式成立.
证法二: (I) ∵ , .
∴=
=
∴ 即
(II)反证法,假设存在常C>0,使.
则有.
由(4)得 (5)
根据均值不等式得:
∵C>0,再由(5)可知,但由(I)可知,产生矛盾. ∴不存在常数C>0,使等式成立.
证法二中,运算设计巧妙,且过程简捷,避免了q=1,的分类讨论.
例3. (1996高考题)已知a,b,c是实数,函数,-10;当-1≤x≤1时, g(x)的最大值为2,求f(x).
[分析及解] (I) ∵f(0)=c, 且. ∴|f(0)|≤1, ∴|c|≤1.
(II)要证|g(x)|≤2,而g(x)是关于x的一次函数,且当时,g(x)是单调函数. ∴g(x)在[-1,1]上的最大值、最小值必在区间的端点处取到,而, 即只要证,而要求出,还要弄清楚g(x)的单调性,即a>0,g(x)为增函数, a<0,g(x)为减函数,到这里应该进行分类讨论,去求,那么是否可避免这个讨论过程呢,或者说这个计谋是否必要呢?由前可知,g(x)的最值即为g(1)=a+b, g(-1)=-a+b,是g(1), g(-1)中的一个,而也是g(1),g(-1)中的一个,因而可不必分清谁是,,只须满足 即可.
由题设|f(1)|≤1, |f(-1)|≤1由(I)知|c|≤1. ∴
∴ ∴ ∴|g(x)|≤2.
(III)当a>0时,g(x)在[-1,1]上为增函数,∴.∴a+b=2,∴a+b≤1-c,则c=-1.∴f(0)=c=-1.
∵对任意x∈[-1,1],都有f(x)≥f(0),即f(x)在[-1,1]上的最小值是当x=0时取得, ∴b=0,由a+b=2, ∴a=2. ∴.
运用适当方法,避免一些不必要的分类讨论,往往会使解题过程简化.
例4. (1992三南)求同时满足下列两个条件的所有复数z: (I)是实数, 且 (II)z的实部和虚部都是整数.
[分析及解]由题意,为实数,且在(1,6)范围内,常规思路是求出的实部、虚部,再由已知条件,求出z.
设则
.
∴由条件(I), 得
由(2)得y=0或 分别代入(1)式. 把y=0代入(1)式得 .
由的式子特点,可用均值不等式作试探, ∴ x无解.
把代入(1)式得1<2x≤6. ∴. 由条件(II), x,y应为整数, ∴x只能取1,2,3,当x=2时,由,y不是整数, ∴. 解出
∴所有复数为.
此题在解题过程中依照题意,自然分类,但解题过程较繁,可将看作一个整体,有下列解法:
设. 由条件I, . ∴整理上式 ,解关于z的方程, ∵ ∴. 由条件II. a只能取2,6两个值. ∴可求出所有复数为.
例5. (1999高考)如图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线l: x=-1. B是直线l上的动点, 的角平分线交AB于点C. 求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
[分析及解]这是一道求动点轨迹的解析题.常规解法是: 先设动点C(x,y),再由题设条件,建立关于x、y的关系式,由题设可知,点C随点B的变动而变动. 为了表述点B的坐标,要先引进一个参变量,此题的参变量可有多种设置方法,这里我们仅举一种较为简便的解法求出轨迹方程.
设B(-1,b). 动点 则0≤x1时,方程3表示双曲线一支的弧段.
所得到的轨迹方程不含xy项,是二次曲线的方程,由于a取不同数值,得到不同的圆锥曲线,考查了分类讨论的思想方法.
例6. (1986高考)已知集合A和集合B各有12个元素,含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:
(I),且C中含有3个元素.
(II)(表示空集)
[分析及解]排列组合的题目也常常用到分类讨论的思想.题目要求,所以应先弄清中的元素个数,由A、B各有12个元素且, ∴中有20个元素 而,说明C中的3个元素至少有一个要从A中选出.
∴可由此分类求C的个数.
(1)只含A中1个元素的集合C的个数为.
(2)只含A中2个元素的集合C的个数为.
(3)3个元素都是A集合的集合C个数为.
∴所求集合C的个数为.
另解: 可将符合条件(I)的集合C分成两类,一是含集合A中元素的集合;一是不含集合A中元素的集合,则除去第二类便是所求,可得.
三. 能力训练题.
（一）选择题
1. ,方程的解的个数是 ( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6.
2. 若,则的值为 ( )
(A)1或-1; (B)0或-1; (C)0或1; (D)0或1或-1.
3. 已知且,则实数p的取值范围是 ( )
(A)p≥-2; (B)p≤-2; (C)p>2; (D)p>-4.
4. 球O的表面积为,球的两个平行截面圆的半径分别为1和2,则两个平行截面间的距离是 ( )
(A); (B); (C); (D).
5. 两条直线, 垂直的充要条件是 ( )
(A); (B);
(C); (D).
6. 设,且, 则 ( )
(A)必有; (B);
(C); (D)以上都不对.
(二)填空题.
7. 过点M(2,4),向圆所引的切线方程是_____________.
8. 在50件产品中有4件是次品,从中任意抽取5件,至少有3件是次品的抽法共______种. (用数字作答).
9. 若,则a的取值范围是__________.
10. 不等式, (a>1,且的解集为_______.
11. 关于x的方程有两个实根,则的取值范围是_________.
12. 如图,直二面角,线段AB,,AB与所成的角为,则AB与成角的取值范围是________.
(三)解答题
13. 设方程的根分别为,且,求实数k的值.
14. 已知数列都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p≠1,q≠1,设,Sn为数列{an}的前n项和,求
15. 解不等式.
16. 在xoy平面上给定一曲线C:.(1)若p=1,设点A,求曲线C上距点A最近的点B之坐标及相应的距离|BA|.
(2)若p=1,设点A的坐标为(a,0),,求曲线C上的点B到点A距离的最小值d,并求d=5时,点A的坐标.
(3)若点A(5,0)到曲线C上的点的最小距离为4,求曲线C的方程.
17. 在中,已知,求.
18. 已知线段AB在平面内,AC平面M,BDAB,且与平面M成角,AB=a,AC=BD=b,求CD两点间的距离.
四.能力训练题点拨与解答.
(一)选择题
1. D. 由zC知z可为实数或纯虚数,若z为实数,可得;若z为纯虚数,可得两共轭纯虚数, ∴共有六个解.
2. D. 由),可分为,三种情况讨论.
3. D. 由 对方程的解的情况有两种: 一是方程无解, ∴-4-4.
4. C. 由已知可求出球半径为6.如图,平行截面有两种位置关系: 一是球心位于两平行截面之间,所求距离为;一是球心位于两平行截面的外侧,所求距离为.
5. A. 分两直线都有斜率与两条直线有一条无斜率两种情形去讨论.
6. B 由f(0)=3, ∴c=3,由f(2-x)=f(x) ∴函数f(x)的图象的对称轴为x=1, ∴b=2 .当x>0时,cx>bx>1.在上增, ∴当x<0时,,f(x)在(上减 ∴.当x=0时, ∴ ∴由上可知.
(二)填空题
7. .
在圆外一点引圆的切线应是两条,可用点斜式设直线方程,别忽略了斜率不存在的情况.
8. 4186.
抽取5件中至少有3件是次品,可分两种情况: 有3件次品、2件正品和4件次品、1件正品, ∴抽法共有
9. .
由题意应先满足 ∴
∵.若a+3>1上式一定满足, ∴a>-2; 若01,
∴,解出x.
若n为偶数时,,原不等式化为,∵a>1, ∴,解出x.
11.
∵方程有两个实根 ∴,且
,
, ∴.
12.
过B作BCl,过结AC ∵ ∴,,设AB=l, ∴,若求AB与成角,则需过A作l的垂线AD,连结BD,即为所求,中,AD的范围是. ∴的取值范围是 ∴AB与所成角的取值范围是.
(三)解答题
13. 解:
(1)当时, 即k≤1,方程有两实根.
., ∴k=-1.
(2)当时,k>1, 方程有两共轭虚根. . ∴, ∴k=3.
∴实数k的值为-1,3.
14. 解:
(1)当p>1, ∵p>q>0, ∴.
∴
(2)当p<1. ∵ 01.
(1)当时.
原不等式等价于. ∴ 解得 .
∴.
(2)当x>1时,
原不等式等价于 ∴ 解得: 或.
∴.
∴原不等式解集为
16. 解: (1). 设曲线上点C.
.
当y=0时, x=0|BA|有最小值, 即B(0,0). .
(2)设B(x,y),则y2=2x, (x≥0)
①当a≥1时,x=a-1,,若,∴a=13. A(13,0).
②当a<1时,x=0,.若|a|=5,∴a=-5或a=5(舍),∴A(-5,0).
∴,∴A(13,0)或(-5,0).
(3)设B(x,y)为曲线C上任意一点,且.
∴.
若p>0,则x≥0
(i)当05时, x=0, .无解.
∴曲线C的方程为.
17.解 ∵ ∴. 又 ∵, ∴. 若,则, ∴
. ∴, 由.
∴
=.
18. 解如图:
(1)若AC和BD在平面M的同侧时,作于E,连结BE,由三垂线逆定理得, ∴
在Rt中,BD=b, , ∴.
在Rt中,.
作DF⊥AC于F,∴,.
∴.
(2)若AC和BD在平面M异侧时,构造Rt ∴.
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