怎样解综合题
综合题是指在解题过程中,需要综合运用较多的数学概念,数学方法,借助数学思想来加以解决的较为困难的问题,其主要类型是,知识综合型题,方法综合型题和能力综合型题.
解答综合题时,要经历审题,寻找和确定求解途径,分清解答步骤,逐步推理,综合陈述,完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节,不能像解答客观试题那样可以跳过某些步骤和环节.
解答综合题时,审题是至关重要的一步,要学会观察、分析,要注意以下几点.
(1)全面理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的联系,进行知识的重新组合;
(2)进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言,符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于处理的数学语言;
(3)注意发现题中隐含条件;
(4)选择适当的解题方法,设计解题的主要步骤.
分析与综合不仅是其他各种思维方法的基础,而且也是解综合题最基本的思维方法,而运用分析法与综合法解综合题就是不断化归与转化,所以解综合题的核心是 “转化与化归”.
一. 例题讲解:
(一)函数综合题
例1. (2000年高考试题(天津卷))
设函数,其中a>0.
(I)解不等式f(x)≤1;
(II)求a的取值范围,使函数f(x)在区间上是单调函数.
分析及解: 本小题主要考查不等式的解法,函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法和运算,推理能力.
解法(一): (I)不等式f(x)≤1. 即
这是一个关于x的无理不等式.
由(1)式得,即,其中常数a>0,所以,原不等式等价于
即
不等式是一个含参数a的一元一次不等式,得,需对的符号进行分类讨论.
所以,当00,显然第二个因式的符号不会恒正或恒负,故需对a的取值分类讨论.
(i)当a≥1时,
∵，
∴.
又，
∴，
即 .
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间［0，+∞)上是单调递减函数.
（ii）当00得,f(x)在区间上是单调递增函数.
解方程f(x)=1得
x=0或.
因为.
所以,当且仅当时, f(x)≤1.
综上: (I)当a≥1时, f(x)≤1的解集为{x|x≥0}
当00, 当-1≤x≤1时, g(x)的最大值是2. 求f(x).
分析及解: 本题主要考察一次函数,二次函数及绝对值不等式的性质,考查代数推理能力,以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力.
(1)依题设知|f(0)|≤1,从而f(0)=c.
∴|c|≤1.
(2)证法一: 利用g(x)的单调性解题,并利用(1)的结论.
1. 当a>0时, g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,于是:
g(-1)≤g(x)≤g(1) (-1≤x≤1)
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1), |c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2.
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2
因此, |g(x)|≤2 (-1≤x≤1).
2. 当a<0时, g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数.
于是 g(-1)≥g(x)≥g(1) (-1≤x≤1).
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1) |c|≤1
∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.
g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2
由此得: |g(x)|≤2 (-1≤x≤1)
3. 当a=0时, g(x)=b, f(x)=bx+c
∵|f(x)|≤1, |c|≤1.
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.
综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2.
注: 此证法中紧紧抓住g(x)与f(x)的关系,把求|g(2)|≤2或|g(-2)|≤2的问题转化为利用已知|f(1)|≤1或|f(-1)|≤1及|c|≤1求解,充分体现了转化的数学思想的应用.
证法二:
∵|f(x)|≤1, (-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1, |f(1)|≤1, |f(0)|≤1,
∵
∴|a-b+c|≤1, |a+b+c|≤1, |c|≤1.
因此,根据绝对值不等式性质得:
|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2.
∵g(x)=ax+b
∴
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端至x=-1或x=1处取得, 于是, 得
(3)由已知a>0, ∴g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,又g(x)在[-1,1]上的最大值为2,故g(1)=2.
∵g(1)=a+b=f(1)-c 又|f(1)|≤1, |c|≤1.
∴-1≤c=f(1)-g(1)≤1-2=-1, 得c=-1. 假设 当-1≤x≤1时, f(x)≥-1=c=f(0).
则函数在[-1,1]内一点x=0处取得最小值-1.
∴f(x)是二次函数且它的图象的对称轴是直线x=0,由此得:
即b=0.
∵a+b=g(1)=2, ∴a=2.
∴f(x)=2x2-1.
注: 本题要求我们对一次函数、二次函数的性质、图象有透彻的理解和熟练的掌握.
(二)数列综合题:
例4. (1998年全高考)
已知数列{bn}是等差数列,b1=1, b1+b2+…+b10=145.
(I)求数列{bn}的通项bn;
(II)设数列{an}的通项.记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与的大小,并证明你的结论.
分析及解: 本题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.
(I)设数列{bn}的公差为d,由题意得:
解得:
∴bn=3n-2.
(II)由bn=3n-2, 知
又
因此要比较Sn与的大小,可先比较与的大小. (显然直接比不好作,观察两个式子都是以n为变量的,因此可先对n=1,n=2等 “特殊情况”进行比较.)
取n=1有
取n=2有
……
由此推测 ①
若①式成立,则由对数函数性质可判定:
当a>1时,
当01时, ;
当00)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时r的取值范围.(93 上海)
4.已知二次函数y=f(x)，在处取得最小值，f(1)=0
(1)求y=f(x)的表达式。
(2)若任意实数x都满足等式(g(x)为多项式，n∈),试用t表示和；
(3)设圆Cn的方程为.圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…),{rn}是各项都是正数的等比数列,记Sn为前几个圆的面积之和,求rn、Sn.
(95. 上海. 理)
提示与解答:
1. (1)
由条件知1-a>0,
①若,即 a≤0时, f(x)在[1,4]上为增函数, f(x)max=f(4)=9-16a, f(x)min=f(1)=-a.
∴g(a)=9-15a (a≤0)
②若,即.
.
∴当时, f(4)≥f(1)
∴
当时, f(4)0, 即时,如图(1), 点Q在第一象限,此时S(t)为四边形OPQK的面积,直线QR的方程为y-2=t(x+2t).
令x=0, 得y=2t2+2,点K的坐标为(0,2t2+2).
.
当1-2t≤0,即时,如图(2),点Q在y轴上或第二象限,S(t)为的面积,直线PQ的方程为.
令x=0得,点L的坐标为
.
∴
(2)当时, 对于任何,有
即S(t1)>S(t2), 所以S(t)在区间内是减函数.
当时,对于任何,有:
.
所以, 若,则; 若1≤t1
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