怎样解综合题(二)
(三)解析几何综合题
解析几何的综合题多为二次曲线的解答题, 一般安排在解答题的最后两题位置, 常见的二次曲线的综合题有:
(1)待定系数法求曲线方程;
(2)求动点轨迹;
(3)关于直线与二次曲线的关系;
(4)求参数或参数的取值范围.
在解答有关二次曲线综合题时, 应注意要熟练掌握有关圆锥曲线的定义, 熟练掌握有关圆锥曲线的性质, 以及灵活运用数形结合的数字思想和方程的思想解题, 并能进行较复杂的计算.
例1. (2000年全国高考, 天津卷)
如图, 已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|, 点E满足, 双曲线过C, D, E三点, 且以A, B为焦点, 求双曲线的离心率.
分析及解: 本题主要考查坐标法, 定比分点坐标公式 ,双曲线的概念和性质, 推理, 运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.
依题意需建立直角坐标系, 并将已知点A, C, B等的坐标给出.
如图, 以直线AB为x轴, 以线段AB的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系xoy, 则轴. 因为双曲线经过点C, D, 且以A, B为焦点, 依题意可记 , 其中C为双曲线的半焦距, , h是梯形的高.
由定比分点坐标公式, 得点E的坐标为
设双曲线的方程为, 则离心率
有的同学作到此分析, 为了求得离心率e, 需先确定双曲线方程, 由已知点C, E在双曲线上, 将点C, E的坐标代入可得到相应的方程从而求解.
由点C, E在双曲线上, 得
此时应注意观察上述方程组的特征, 发现可将此方程组视为以, 为变量的二元一次方程组, 因而只需.
由①得代入②得
所以离心率
注: 此题作为圆锥曲线的综合题其难度并不太大, 但有的同学并没能解得此题. 解此题的关键是已知点A, C的设立和方程组的求解.
例2. (99年全国高考试题)
如图, 给出定点A(a, 0) 和直线, B是直线l上的动点, 的平分线交AB于点C, 求点C的轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
分析及解: 本小题主要考查曲线与方程, 直线和圆锥曲线等基础知识, 以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.
方法(一): 依题意, 记, 则直线OA和OB的方程分别为, 设点C(x, y), 则有0≤x0及 4m+p+4>0 ∴
因此,直线与抛物线总有两个交点.
(2)设Q,R两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),由(1)知,x1,x2是方程的两根,所以,由,得,即有.
又Q、R为直线x+y=m上的点,因而,于是.
∴
由 得
(3)由于原点O到直线x+y=m的距离不大于,于是,
|m|≤1.
由(2)知m>-2且,故
由(2),
当时,任取m1、m2、0>m1>m2≥-1, 则，
由0>m1>m2≥-1, 知 0<(m1+2)(m2+2)<4,
, 又由m1-m2>0.
知f(m1)0,故点Q的轨迹方程为:
(其中x,y 不同时为零)
所以点Q的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴长分别为且长轴与x轴平行的椭圆,去掉坐标原点.
4.
(1)连接DB交AC于O,连接ED
∵ 底面ABCD为正方形, ∴
又∵ ∴.
∴是面EAC和底面AC所成二面角的平
面角.
∴
故.
(2)由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得,
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线.
∵D1B∥面EAC,且面D1BD与面EAC交线为EO.
∴D1B∥ED
又O是DB中点, ∴E是D1D中点,D1B=2EO=2a.
∴
∴异面直线A1B1与AC间距离为.
(3)方法(一): 如图,连接D1B1,
∵
∴BDD1B1是正方形.
连接B1D交D1B于P,交EO于Q,
∵, ∴B1DEO.
又ACEO,ACED, ∴AC面BDD1B1
∴B1DAC, ∴B1D面EAC
∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高
由DQ=PQ, 得
∴
方法(二): 连接B1O,则
∵
∴AO是三棱锥的高,
在正方形中, E, O分别是的中点, 则
∴.
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