怎样求函数最值
一. 求函数最值常用的方法
最值问题是生产、科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点, 它涉及到高中数学知识的各个方面, 解决这类问题往往需要综合运用各种技能, 灵活选择合理的解题途径, 而教材中没有作出系统的叙述.因此, 在数学总复习中,通过对例题, 习题的分析, 归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程.
常见的求最值方法有:
1.配方法: 形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.
2.判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.
3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值.
4.利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正、定、等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立.
5.换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值.
还有三角换元法, 参数换元法.
6.数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值.
求利用直线的斜率公式求形如的最值.
7.利用导数求函数最值.
二.例题精讲
例1.
(1)已知, 求函数的最大值与最小值.
(2)求函数的最值.
[分析与解]
(1)由已知先将的表达式及定义域求出. . 定义域为即,容易看出是以为变量的二次函数,采用配方法求最值.
∴
∵
∴
当时,有最小值6;当时, 有最大值13.
此题应注意正确理解函数符号的意义,会求复合函数的定义域.
(2)求三角函数式的最值, 首先要将所求式子变形, 由题目所给式子观察是关于的对称式, 应采用换元的办法, 令, 将原函数转化为t的二次函数, 再用配方法求最值.
令
∴,
注意求t的取值范围,
∴
∴原式为.
当时, 有最大值;
当时, 有最小值为.
例2. 求函数,的最大值.
[分析与解]
化简: ,形如的函数,可采用判别式法求最值, 将原函数整理成以为自变量的二次函数形式, .
∵
∴,
∴y≤,
当时, 代入原式, 解得,
∴当时, y有最大值.
例3.设,其中a是实数, n是任意给定的自然数,且,如果时有意义,求a的取值范围.
[分析及解]若使函数有意义,可以建立不等式, 这里a是参数, 把a分离出来得,若求a的取值范围,可将看作一个函数,只要使a大于此函数的最大值, 就可以了.
∵在上都是增函数,
∴在上都是增函数.
∴它在时取得最大值:
∴
这道题表面上没有要求函数最值,但却通过求函数最值确定参数范围,本题是利用函数的单调性确定最值.
例4. 用总长14.8m的钢条制做一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
[分析与解]此题是一道求最值的应用题,设容器底面短边长为xm, 则另一边长为,高为,
由
设容器的容积为,则有
整理得
∴ 令
解得
∴(不合题意,舍去), 且
由题意,当时, y取得最大值, , 高为.
答: 容器的高为1.2m时容积最大, 最大容积为.
例5.已知x, y均是正数, 且的最小值.
[分析与解]由已知和为定值, 可考虑用平均值定理求最值,联系到条件是形式,再用三角换元设 ，然后求最小值; 或由条件得代入化为求的最小值.
解法一: 由, 又x, y均为正数, 可设 ,
∴
≥
当且仅当时, .
解法二: 由得
∵
∴
∴
≥
当且仅当时, .
解法一利用三角换元法求最值, 当变量满足或一些曲线方程的关系式时, 可利用三角换元或利用曲线方程的参数式设变量, 运用三角函数求最值.
例6.
(1)已知,
求函数的最小值
(2)已知,求的最大值和最小值.
[分析与解]
(1)由要求最值的函数表达式可以想象其几何意义是动点到两定点(-3,5), (2,15)的距离和的最小值, 动点在直线上移动, 定点(-3,5), (2,15)均不在直线上, 所以此题就是在直线上找一点, 使其到A(-3,5), B(2,15)两点的距离之和最小, 如图, 求出A点关于直线的对称点C, 则BC的长即为所求最小值.
设, ∴ 解得
∴
∴
(2)由已知, 是在椭圆上及内部的动点, 令, ∴, 即求直线的斜率k的最值, 由图观察可知, 斜率k的最值在过原点与椭圆相切的切线上取得,
∴ 消y
整理
∴
∴.
三.能力训练题
(一)选择题:
1.函数的值域是( )
A. B.[] C.[-1, 3] D.
2.函数的值域是[1,7],它的定义域是( )
A.[2, 4] B.() C. D.
3.设函数,当时, 恒有, 则常数a的最大值是( )
A. –5 B. 5 C. D.
4.设是这样定义的: 当≥时, , 当时, 则对于( )
A没有最大值, 最小值是 B.没有最大值, 最小值是0
C.最大值是4, 最小值是0 D.最大值是4, 最小值是
5.函数的最大值是( )
A. B. 3 C. 2 D. 非上述答案
6.复数满足: 的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2
7.已知抛物线的焦点F, 定点A(3,2)在上取动点P, 则为最小时, 此时点P的坐标为( )
A.(-2, 2) B. C.(2,2) D.
8.函数在定义域内( )
A. 最大值为3, 最小值为-3. B. 最大值为4, 最小值为0
C. 最大值为1, 最小值为-3 D. 最大值为3, 最小值为-1.
(二)填空题:
9. 在[0,4]上的最大值是____________.
10.若的最大值为_____________.
11.若的最值_______________
12.若复数Z满足|Z|=1, 则的最大值及最小值_______________, 相对应的复数为________________
13.已知则函数的最大值____________
14.函数在[-3, 2]上有最大值4, 则实数a=___________
(三)解答题:
15.已知函数
(I)当函数y取得最大值时, 求自变量x的集合.
(II)该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
16.对于任意正实数,且m>1, 求使不等式,恒成立的实数的取值范围, 并证明等号成立时, 成等比数列.
17.已知实数满足, 且设试求的值.
18.设A, B是抛物线上两点, 且为坐标原点.
(I)求面积的最小值
(II)求弦AB的中点M到直线距离的最小值.
19.设二次函数
(I)已知, 试求的解析式.
(II)已知≤1, ≤1, 求证:当≤1时, ≤.
20.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知, 从二月一日起的300天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
(I)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式;写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式.
(II)认定市场售价减去种植成本为纯收益, 问何时上市的西红柿纯收益最大? (市场售价,种植成本的单位: ，时间单位:天)
四.能力训练题点拨与解答
(一)选择题
1. D
首先要注意定义域, .
当
当且仅当时, 取等号;
当
当且仅当时, 取等号
∴应选D.
2. D
由已知解不等式组,
应选D.
3. A
的图象是一个圆的上半部分. 的图象是一条直线.若时, , 则圆应在直线下方, a的最大值是圆与直线相切时较小的a值.
圆心, 半径为2,
∴ 解得.
∴为所求.
4. A
由定义知中较大者, 画出在同一坐标系中的图象, 两图象交点为
∴
由图可知, 无最大值, 最小值为
5. C
6. D
设z的对应点为, 得.
∴点Z的轨迹为射线
∴的最小值为点(2,0)到这条射线的距离,
7. C
如图, 设由点P向准线作垂线, 垂足为B,
∴, 当三点共线时, 的值最小,
∴P的纵坐标为2, 代入
∴
8. A
可由的几何意义求出:数轴上到点0和3距离的差最大值为3, 最小值为-3, 或由绝对值不等式性质,≤.
(二)填空题:
9. ∴的增函数.
∴在[0, 4]上的最大值是.
10.
同理, 将上面式子相加, 得 11.
设, 将本题看成与椭圆有公共点的直线系中,直线的纵截距的最值, 当直线与椭圆相切时, u取最值. 消y, , ,
12. 时, 时, .
由,
∴设,
则.
∴
(当且仅当时等号成立)
∴0≤≤
13. ≤2, , 此时, 即时, .
14. , ,
当抛物线开口向上,
∴, 解得;
当开口向下,
∴, 解得.
(三)解答题:
15. 解: (I)
当时, y有最大值.
(II)将函数的图象向左平移, 得到函数的图象, 把图象上各点横坐标缩短到原来的倍, 得到函数的图象, 把图象上各点纵坐标缩短到原来的倍, 得到函数的图象.
16. 解: 由换底公式将已知变形:
≥0
∴≥
令
∵1,
∴
则≤
∵≥, ∴
且等号成立的条件是即
∴a, b, c成等比数列.
17. 解法一: 由已知得,
从而有≤≤, 解得≤S≤
∴.
解法二: 由已知,显然, 不妨设
由已知得, ,
即
当 .
当时, ∵
∴≥0 即≤0, 解得≤S≤,
∴.
解法三: 由方程表示圆, 可设, 代入已知得
∴
∴
当时, .
∴.
18.解:
(I)设OA的方程为,则OB的方程为由 得A.
由, ∴, .
∴≥=4.
∴当时, .
(II)设AB的中点为M, 由(I)知M点坐标为, 则M到的距离..
令
∴当时, 即时, .
19. 解: (I)由已知
∴.
当)
∴. ∴ ∴.
当,又∵, ∴.
∴.
(II)由方程组 解得, .
由已知条件及≤1,
得
≤
≤
≤
20. 解: (I)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为 0≤≤300.
(II)设时刻的纯收益为,则由题意得
∴
当0≤≤200时, 配方整理得
∴当时, 取得区间[0,200]上的最大值100,
当时,配方整理得
∴当时, 取得区间上的最大值87.5.
综上,由100>87.5可知, 在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
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