怎样求轨迹方程
一．求轨迹方程常用的方法
求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,是高考的一个热点,特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口,注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力,而轨迹方程这一热点,则能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.
轨迹方程的考查多以解答题的形式出现,而求解时,要经历审题,寻找和确定求解途径,分清解答步骤,逐步推演,综合陈述,完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节.因此,正确探明题目所蕴含的数学信息,广泛联想题目所涉及到的概念、公式、定理，创造性地组合各种信息,求得问题的解决.
求曲线轨迹方程的基本步骤为：
(1)建立适当的平面直角坐标系,设轨迹上任一点的坐标为M(x,y)；
(2)寻找动点与已知点满足的关系式；
(3)将动点与已知点坐标代入；
(4)化简整理方程；
(5)证明所得方程即为所求曲线的轨迹方程,.
在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：
(1)全面理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合；
(2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；
(3)注意挖掘题目中的隐含条件；
(4)注意反馈和检验.
求轨迹方程的基本方法有：
(1)直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成x,y的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整理.
(2)定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程.
(3)待定系数法：已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数.
(4)相关点法：当动点P(x,y)随着另一动点Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点Q在某已知曲线上,且Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中,求得动点P的轨迹方程.
(5)参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程,消去t,便可得动点P的普通方程.
另外,还有交轨法、几何法等.
在求轨迹问题时常用的数学思想是：
(1)函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程及函数关系；
(2)数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合；
(3)等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.
二．例题精讲
例1．已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C：,动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和,求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线,并画出草图.
［分析及解］由已知,动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和.设MN切圆于N,又圆半径|ON|=1,∴,∴,由已知|MN|=|MQ|+1.设m(x,y),则整理得-8x+5=0(x≥),可化为(x≥).
∴所求轨迹是以点()为中心,实轴在x轴上的双曲线的右支,顶点为().
这道求轨迹的问题是利用直接法,由题意求切线长,和平面几何的性质求切线长,列出方程,求出轨迹方程.
例2．已知动点P与双曲线的两个焦点所连线段的长之和为定值,且这两条线段夹角余弦的最小值为.
(I)求动点P的轨迹方程；
(II)在x轴的正半轴上是否存在点Q,使得Q与该轨迹上点的最小距离为1.
［分析及解］
(I)由已知,双曲线的焦点F1(-,0),F2(,0),设|PF1|+|PF2|=2a(定值),可由余弦定理求
=≥.当且仅当时取等号,∴,∴a2=9,b2=9-5=4,∴P的轨迹方程为.
由于所求动点到两定点距离和为定值,且定值大于两定点间距离,∴此动点轨迹满足椭圆定义,利用椭圆方程求轨迹.
(II)设存在点Q(t,0),t>0,(I)中轨迹上的点P(),θ∈R,d=|PQ|.
∴d=
=.
①当0<t≤1,即00,x>0,由点R在椭圆上及点P、Q、R三点共线,得方程组
解得：
再由点O、Q、R三点共线,得,∴ ③.
由已知|OQ|·|OP|=|OR|2,可得：.
此时需将参数xR、yR、y0消掉,将①②③式代入上式,,整理可得：.
例5．M为圆(x-2)2+y2=1上的动点,点A(1,0)为圆上一定点,作MN⊥y轴于N,求直线OM与AN交点的轨迹方程.
［分析及解］此题是典型的相关点法求轨迹.设直线OM与AN的交点为P,P点是随着M点在圆上运动而运动的,M点的轨迹方程为圆,如果能利用已知条件,找出P点与M点坐标的关系,代入到圆方程,便可求出P点轨迹方程.
设直线OM与AN的交点为P(x,y),令M(x1,y1),N(0,y1).
∵OM方程为：
AN方程为：
∴,.
∵M(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=1上,
∴(x1-2)2+y2=1,即
整理可得：(y≠0)
例6．如图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
［分析及解］此题已知定直线x=-1和点A(a,0)(a>0),B是直线l上的动点,点C是∠BOA的角平分线与AB的交点,点C是随着B点的运动而运动,最后要求点C的轨迹.
求点C的轨迹方程,关键是选择合理的中间变量,即参数,如选取点B的纵坐标,直线AB的斜率,∠AOC或∠AOB的大小等,不同的选择有不同的解题路径,建立关系式用的都是有关直线方程的基础知识,进一步消去中间变量,求出方程.
记B(-1,b)(b∈R)
设C(x,y),则0≤x1时,表示双曲线一支的弧段.
三．能力训练题
1．选择题
(1)一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆
(2)给出下述四个命题
①若曲线C上任一点的坐标都满足方程f(x,y)=0,则方程f(x,y)=0所表示的曲线一定包含曲线C, 不一定就是曲线C.
②方程与表示同一曲线.
③到x轴的距离等于2的点的轨迹方程是y=2.
④方程(x+y-1)·(x-y+1)=0表示的曲线是两条相交直线.
正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(3)椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是( )
A． B．
C． D．
(4)设椭圆(a>b>0)的短轴端点B与两焦点组成三角形周长为,且∠F1BF2=120°,则此椭圆方程为( )
A．
B．
C．
D．
(5)已知P为抛物线2x2-y+1=0上的动点,点A的坐标为(0,-1),点M在直线PA上,且点M分的比为2,则点M的轨迹方程为( )
A．18x2-3y+1=0 B．18y2-3x-1=0
C．9x2-3y+1=0 D．3x2+y+1=0
(6)已知两点M(1,),N(-4,-),给出下列曲线方程：
①4x+2y-1=0,②x2+y2=3,③,④.
在曲线上存在点P,满足|MP|=|NP|的所有曲线方程为( )
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
(7)在平面内,到两定点(±1,0)的距离之和等于常数1的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．一条线段 D．不存在
(8)已知圆O：x2+y2=a2,A(-a,0),B(a,0),P1、P2为圆O上关于x轴对称的两点,则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为( )
A．x2+y2=2a2 B．x2+y2=4a2
C．x2-y2=4a2 D．x2-y2=a2
2．填空题
(9)若双曲线与已知椭圆4x2+y2=64有公共焦点,且双曲线的一条渐近线方程是,则双曲线的标准方程是__________.
(10)椭圆的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么ΔPF1F2的外接圆的方程为_________.
(11)若M点的坐标是关于t的方程：t2-的两个根,则当α变化时,M点的轨迹方程是__________.
(12)已知焦点F(2,1),准线方程为y=5的抛物线的顶点是P,则以P为焦点,以y轴为准线的抛物线的方程是___________.
(13)已知定点F(4,0)和定直线l:x=-4,动点P在直线l上,直线l1过点P且与直线l垂直,直线l2垂直平分线段PF,又l1,l2相交于M,则点M的轨迹方程是____________.
(14)椭圆以原点为一个焦点,且过点A(-5,12),B(9,12),则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为_____________.
3．解答题
(15)已知点P(1,2)及圆C：x2+y2=9,过点P作互相垂直的两弦交圆C于A、B,求线段AB中点的轨迹方程.
(16)从直线y=x上的点P引抛物线y=x2+1的两条切线,切点分别为A、B,求弦AB中点的轨迹方程.
(17)过椭圆的下顶点B(0,-b)作弦BM,
1>若M在椭圆上运动,求BM中点的轨迹；
2>求|BM|的最大值及取最大值时的M点坐标.
(18)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A,B为端点的曲线C上任一点到l2的距离与到N点的距离相等,若ΔAMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且BN=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
(19)设双曲线C：的左右焦点为F1、F2,左准线为l1,且F1到l1的距离为d,若在C的左支上存在一点P,使|PF1|是|PF2|和d的等比中项,试求b的最大值.
(20)已知二次曲线(其中k为常数,a为参变数),分别截x轴和y轴所得线段AB和CD保持定长6和4.
1>求动点(u,v)的轨迹方程；
2>对不同的k,指出(1)中的轨迹图形各是什么曲线？
四．自我反馈
1．选择题
(1)C
两定圆的方程为x2+y2=1,(x-4)2+y2=4,圆心为O(0,0),B(4,0),半径分别为r1=1,r2=2,两圆相离,所求动圆与两圆外切,即动点P到两圆心的距离之差是一个定值r2-r1,0<|PB|-|PO|=r2-r1=1<|OB|,∴由双曲线的定义知动圆圆心轨迹为双曲线一支,选C.
(2)C
根据曲线方程定义可知命题①成立；∵y≠1);(|x|≤1),∴②中的两方程表示的不是同一曲线,②不成立；到x轴的距离等于2的轨迹方程应为y=±2,③不成立；(x+y-1)(x-y+1)=0x+y-1=0或x-y+1=0,这二方程分别表示两条直线,且相交,④成立；∴选C.
(3)A
设椭圆C上任一点M(x,y),M点关于直线x+y=0的对称点,由题意是已知椭圆上的点,∴,即,选A.
(4)B
由已知,2a+2c=4+2,,解方程组,解得,b=1,∴方程为,选B.
(5)A
设M(x,y),P(x1,y1),∴,∴.∵P(x1,y1)在抛物线2x2-y+1=0上,∴代入2(3x2)-(3y+2)+1=0,即18x2-3y-1=0,选A.
(6)D
满足|MP|=|NP|的点P一定在以M、N为端点的线段的垂直平分线上,即直线y=-2(x+),y=-2x-3,可画图看①②③④,四个图形哪个与y=-2x+3有交点,可知②③④满足条件,∴选D.
(7)D
若动点在(1,0),(-1,0)两点的连线上,即x轴上,则|x-1|+|x+1|≥2,若动点不在x轴上,它到两定点的距离之和一定大于2,∴所求点的轨迹不存在.
(8)D
令P1(m,n),P2(m,-n),且,∴AP1：,BP2：,所求交点P为,消去m、n,两式相乘,,∵代入,∴,∴,选D.
2．填空题
(9)
由已知,可得双曲线的焦点为(0,),(0,),由渐近线方程得,即,∴a2=3b2,a2+b2=c2=48,解得.
(10)
设PF1的中点(0,m),P(x,y),F1(-3,0),∴,.
∵P在椭圆上,当x=3时,,
∴,半径r=,
∴所求圆方程.
(11)x2+y2=12
设M(x,y),由已知x、y是方程的两个根,∴,∴,消参数α.
,∴.
(12)
以F(2,1)为焦点,准线为y=5的抛物线的顶点是(2,3),则以(2,3)为焦点,y轴为准线的抛物线的顶点为(2,),P=3,方程为(x-2)2=6(y-).
(13)y2=16x
如图,设P(-4,k),直线l1：y=k,PF2的中点为(0,),,∴直线l2的方程：,求M点联立l1,l2,得,消k,∴.
(14)(右支)
由椭圆的定义,|AO|+|AF|=|BO|+|BF|,∴|AF|-|BF|=|BO|-|AO|=2,即所求焦点F到两定点A、B距离之差为定值,F的轨迹是双曲线的一支,以A、B为焦点,|AB|=14>2,以2为实轴长，中心在(2,12)的双曲线方程,c=7,a=1,b2=48,∴所求轨迹方程(右支).
3．解答题
(15)解：如图,设AB中点为M(x,y),∵AP⊥BP,由平面几何知识可得|OA|2=|OM|2+|AM|2,又|PM|=|AB|=|AM|,|OA|=3,∴|OM|2+|PM|2=9,即,整理得,即为所求.
(16)解：设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),∴,,以A、B为切点的切线方程为,.
∵AB在上,∴,,∴PA、PB的直线方程为,.
又∵P(x0,y0)的坐标满足上述方程,∴,,即弦AB的方程为.
消去y,,
整理,∴.
设A、B中点坐标为M()
∴,,
M点轨迹方程为：.
(17)解：
1>设BM的中点P(x,y),M(x1,y1),由中点坐标公式,∴.∵M在椭圆,∴,∴(除去点(0,-b)).
轨迹为以(0,)为中心,以为长半轴、短半轴的椭圆,除去点(0,-b).
2>
=
=(|y|≤b).
当时,b2≤a2-b2,即a≥时,,∴|MB|max=,M().
当时,则y=b时,∴,∴M(0,b).
(18)解：如图建立直角坐标系,分别以l1l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xN,0),
依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3
yB=|DM|=.
由于ΔAMN为锐角三角形,故有
,
.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0},
∴曲线段C方程为(3≤x≤6,y>0).
(19)解：由双曲线的方程知：a=5,=(设).
∴,由已知得.
又由双曲线定义知,
解方程组,得.
∵F1,F2和点P或共线或构成三角形顶点,
∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|
即≥.
整理得 ≤0,∴0≤.
∵,∴0≤,≤,
∴b的最大值为.
(20)解：
1>令y=0,∴,∴ ,由题意,
∴, ①.
再令x=0,求得(y-v)2=,
,∴=4,
∴ ②.
由①②消去a,得动点(u,v)的轨迹方程为： .
2>
当k=0,-时,轨迹各为两直线,
当k=1时,,轨迹是圆,
当k>1,0
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