应用性问题(二)
(三)数列型问题
例1.一种设备的价值为a元,设备维修和消耗费用第一年为b元,以后每年增加b元,用t表示设备使用的年数,且设备年平均维修、消耗费用与设备平均价值费用之和为y元,当a=450000,b=1000时,求这种设备的最佳更新年限(使y取得最小值时t的值).
分析及解：设此设备使用了t年,由题设知设备维修、消耗费用构成以b为首项,b为公差的等差数列,因此年平均维修、消耗费用为(元)
设备年平均价值费用为(元)
依据题意有 ,
=,
=
=500+500(t+)≥500+500×2×30=30500(元)
当且仅当,即t=30时,y有最小值.
所以设备更新的最佳年限为30年.
说明：此题属于“利用现成的数学模型对问题进行定理分析”的应用性问题,确定设备维修、消耗费用的模型是一个以b为首项,b为公差的等差数列是解题的关键.
另有一点应引起注意,这就是对于函数的定义域问题,本题没有给出t的范围,如果增加一个条件“设备使用的年限不超过c年”,即定义域为(0,c],这时题目的最后解决要分类讨论.
∵=.
①当≤c时,
则 ≥
当且仅当 ,即 时,
取得最小值.
②当时,即0q>r,且p-r=2(p-q),要使容器内溶液的浓度不小于q%,问至少要进行上述操作多少次(已知).
分析及解：
(1)依题设
,
,
,
通过观察,得到递推关系
=.
由此递推关系如何求得bn呢？
由bn=,得bn-
于是数列{bn-}是以b1-为首项,为公比的等比数列.
∴
∵,
∴,
∴.
(2)依题意有 bn≥q%
即 ≥,
≤p-q=(p-r).
∴≥2 (∵p-r>0)
∴n≥.
所以要使容器内的溶液浓度不小于q%,至少要操作4次.
说明：此题依据化学中的公式得到b1的表达式,及b2、b3的表达式由此可归纳出bn的递推关系式,即bn=,要设法转化成等比数列,因此要构造一个辅助数列{bn+λ},这可以用待定系数法,令
bn+λ=,
bn=.
令-,得 .
于是可以构造出一个等比数列{bn-}.
(四)几何型
与解析几何、立体几何有关的问题.
例4.有一种大型商品A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地相距10km,顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用最低,问居民如何选择购物地点.
分析及解：几何型应用题,在利用解析法的过程中,适当建立直角坐标系是解决问题的关键.
以AB的中点O为原点,A、B所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).
设某地P(x,y)的居民选择A地买商品便宜,并设A地的运费为3a元/km,则B地运费为a元/km.
∵P地居民购货总费用满足条件：
价格+A地运费≤价格+B地运费
即 ≤
化简整理得： ≤.
因此,以C()为圆心,以为半径的圆是A、B两地购货的分界线,在圆C内的居民从A地购物便宜,圆C外的居民从B地购物便宜,圆C上的居民,可随意选A、B两地之一购物.
例5．B、C是我军的两个前线观察哨所,A是我军的炮兵阵地,A位于B的正东,相距6公里,C位于B的北偏西30°,相距4公里,某天凌晨4点15分24秒,A发现某一信号,紧接着B、C哨所通知A也发现了这一信号,时刻是4点15分25秒,经核实此信号发自敌一观察前哨,指挥部命令A打掉它,已知该信号的传播速度为1公里/秒.
(1)计算A炮击目标的射程,以及炮击的方位角；
(2)某炮弹的初速度为,计算A炮准确射击的仰角(不计空气阻力).
分析及解：
(1)以BA所在直线为x轴,BA的中点为原点,建立如图所示的坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,).
由题设
由①知P在BC的垂直平分线上,其方程为 ③.
由②知,P又在以B、A为焦点,原点为中心,焦点在x轴上的双曲线的右支上,半焦距为c,实轴为4,则双曲线右支的方程为 ④
联立③、④得交点P(8,),
∵,
∴PA的倾斜角为60°,即方位角为东偏北60°.
射程|AP|=(公里).
(2)以AP为x轴,A为原点,垂直于水平面的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.
设仰角为θ,则炮弹的轨迹方程为(t为参数)
消去参数t,得
∵P(10,0)在轨迹上,∴,
∴θ=30°或60°
∴A炮准确射击的仰角为30°或60°.
说明：
(1)由于时间差,使|PB|-|PA|=4,|PB|=|PC|,故P既在双曲线的一支上,又在BC的中垂线上,即P为二曲线交点——解析几何的基本方法：交轨法.这恰是将实际问题转化为数学问题的最佳时机.
(2)用解析法解应用题,关键是根据题意,建立适当的坐标系,与常用的直线与圆锥曲线对应起来,转化为求曲线方程或曲线性质的讨论,从而建立恰当的数学模型.
(五)其它类型
例6．某地发行10万张彩票,其中有100张能中奖,即随机抽取一张,中奖概率为,小王认为买1000张能中奖,但他买了1000张之后却没有中奖,他很不高兴,他的一个朋友告诉他,买1000张彩票不中奖的概率要大于35%,他很吃惊,这个结论对吗？请你估计一下这个概率,并作出解释.(必要时可使用数据)
分析及解：买1000张彩票,相当于从10万张彩票中任取1000张共有种取法.
不中奖,相当于从不能中奖的彩票99900张中任取1000张共有种取法.
∴不中奖的概率
p=
>
∴不中奖的概率大35%.
这和每张彩票中奖概率不矛盾,买1000张彩票中奖概率为1-p,即平均来说,每100个买1000张彩票的人中,设中奖的人数多于36人,而中奖人数不超过64人,由于中奖的人中有中1张的,也有中2张,或3张、4张的,因此,此时每1000张彩票中有1张中奖彩票,即每张彩票中奖概率千分之一.
自测题
1.依法纳税是每个公民的应尽义务,国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的,总收入不超过800元的免征个人、薪金的所得税；超过800元部分需征税,设全月计税金额为x,x=全月总收入-800元,税率见下表：
级数
全月应纳税所得金额x
税率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元到2000元部分
10%
3
超过2000元到5000元部分
15%
…
……
…
9
超过100000元部分
45%
(1)若应纳税额为f(x),试用分段函数表示1-3级纳税额f(x)的计算公式；
(2)甲1999年3月份工资总收入为3000元,试计算甲3月份应缴纳个人所得税多少元？
2．某厂花费50万元买回一台机器,这台机器投入生产后,每天要付维修费,已知第x天应付维修费为元,机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天,叫做每天的平均损耗,当平均损耗达到最小值时,机器应当报废.
(1)将每天平均损耗y(元)表示为投产天数x的函数；
(2)机器使用多少天就应当报废？
3．某厂在1999年对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能到原单位按上一年的领取工资,该工厂根据分流人员的技术特长,计划办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获b元收入,从第三年起,每人每年收入可在上一年的基础上递增50%,如果某人分流前工资收入为a元,分流后进入新经济实体,第n年总收入为an元.
(1)求an；
(2)当b=时,这个人的哪一年收入最少？最少收入为多少？
(3)当b≥时,是否一定可以保证这人分流一年后的收入水平永远超过分流前的年收入.
4．某城镇在1998年底有人口20万,人均住房面积为8m2,计划在2002年人均住房面积达10m2,如果此城镇将每年人口增长率控制在1%以内,那么要实现上述计划,这个城市每年平均至少新增住房面积(结果以万m2为单位,保留两位小数)？
5．某企业生产A、B两种产品,生产每一吨产品需劳动力、煤、电耗及利润如下表：
产品
劳动力
煤(t)
电(千瓦)
利润(万元/t)
A产品
4
9
3
7
B产品
5
4
10
12
现因条件限制,该企业仅有劳动力200个,煤360t,供电局供电300千瓦.试问该企业生产A、B两种产品各多少吨,才能获得最大利润？
6．某检验是通常用一个直径为2cm和一个直径1cm的标准圆柱,检测一个直径为3cm的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径应该是多少？
解答
1.
(1)
f(x)=
(2)205元.
2.
(1)维护费是以500元为第一项,为公差的等差数列,
∴=,
∴.
(2)
≥
=
=.
当且仅当,即x=2000时,取等号,此时y最小,即机器使用2000天就应该报废.
3．
在原单位收入
在经济实体收入
1
0
2
3
n
(1)当n=1时,a1=a,
当n≥2时,an=.
(2)当b=时,
an=
≥
=.
当且仅当 ,即
,即2n-2=4,
∴当n=3时,an有最小值,即第三年收入最少,最少收入为.
(3)当n≥3时,
∵b≥,
an≥≥.
当且仅当 b=且时,an最小.
此时n=1+,
即n>2时,an>a,
又n=2时,>a.
∴b≥时,这个人分流一年后的收入就永远超过分流前的收入.
4．设每年平均新增住房面积为d(104m2).
由题意,从1998年底,此城镇每年住房面积组成一个以20×8=160为首项,d为公差的5项等差数列,到2002年,住房面积为160+4d(104m2).
此时城镇人口组成以20万为首项,(1+1%)为公比的5项等比数列,到2002年,人口总数为 20(1+1%)4.
此时住房总面积为20(1+1%)4·10.
依题意有
160+4d≥200·(1+1%)4,
d≥12.03(104m2),
即该城镇每年平均至少要新增住房面积为12.03(104m2).
5．设生产甲、乙两种产品分别为xt,yt,利润总额为z万元.
则
4x+5y≤200
9x+4y≤360
3x+10y≤300
x≥0
y≥0
z=7x+12y.
作图(略).
直线7x+12y=t经过4x+5y=200和直线3x+10y=300交点P(20,24)时,z最大,
∴A产品生产20t,乙种产品24t,能使利润最大.
6．如图,设直径为3,2,1的三个圆圆心为O,A,B,问题化归为求两等圆P,Q,使它们与⊙O内切,与⊙A,⊙B外切.
取O为原点,直线AB为x轴,建立直角坐标系.
设所求⊙P的半径为r,则
|PA|=1+r, |PO|=1.5-r,
∴|PA|+|PO|=2.5
∴P点在以A,O为焦点,长轴长为2.5的椭圆上,其方程为：
①
同理,点P也在以O,B为焦点,长轴长为2的椭圆上,其方程是
②
联立①、②,解得交点P,Q()
∴,所求直径为.
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