综合题训练(3)
一.选择题:本大题共14小题;第(1)~第(10)题每小题4分,第(11)~第(14)题每小题5分共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果集合则=( ).
(A)(0,1)或(1,1) (B){(0,1),(1,1)} (C){0,1} (D)(
2．y=sinx与y=cosx同为减函数，且的一个区间是（ ）
（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
3．在中,( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
4．已知直二面角,直线,直线,且m, n均不与棱l垂直,则( )
(A)m与n可能平行,但不可能垂直 (B)m与n不可能平行,但可能垂直
(C)m与n可能平行也可能垂直 (D)m与n不可能平行也不可能垂直
5．如果,则a的取值范围是( )
(A) (B)
(C)或 (D)a≥
6．已知是双曲线的两个焦点，PQ是经过F2且垂直于双曲线实轴的弦，若，则双曲线的离心率是( )
(A) (B)+1 (C)-1 (D)
7．函数,则a的取值范围是( )
(A)或 (B)
(C) (D)或
8．在等差数列 中，，则的值为（ ）
（A）24 （B）22 （C）20 （D）-8
9．三个数成等差数列,又成等比数列,则等于( )
(A)-3 (B)1 (C)-1或3 (D)-3或1
10．10颗骰子同时掷出,共掷5次,则至少有一次全部出现一个点的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
11．已知向量平行,那么x等于( )
(A)2 (B) (C) (D)
12．若的展开式中含项的系数相等,则实数m的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.
13．数列的通项为，则
14．曲线上横坐标为的点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于____________.
15．给出下面4个命题:
函数在第一象限是增函数;
②;
③奇函数的图象一定过原点;
④条件是条件的充分但不必要条件.
其中不正确的命题的序号是_________________.
16．过抛物线的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是P、Q，则
三.解答题: (本大题共6小题,共74分)
17．(本小题满分12分)
[理工]
设非零复数.
(Ⅰ)求复数;
(Ⅱ)若的值.
[文史]
已知tan是方程的两个根，
求的值。
18．(本小题满分12分)
关于x的不等式≥0的解集为[α，β]，其中β>α，
且1≤β-α≤3，求a的取值范围。
19．(本小题满分12分)
斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是底面ABC,垂足为H,二面角B-AC-C1的平面角为锐角.
(Ⅰ)试判断点H的位置,并说明理由;
(Ⅱ)若AB=AC=2,AC1=,侧棱与底面成角,
求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
②求二面角C-BC1-A的平面角的正切值.
20．(本小题满分12分)
从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方形铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t（t>0），问x取何值时，容积V有最大值。
21．(本小题满分12分)
已知圆的方程为,椭圆的方程为 ,的离心率为,如和相交于A, B两点,且线段AB恰好为圆的直径,求直线AB的方程和椭圆的方程.
22．(本小题满分14分)
已知函数满足,对定义域中任意x成立.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若数列的前n项和满足时,当≥2时,试写出数列的通项公式,并证明你的结论.
答案:
一.选择题
(1)D (2)A (3)C (4)A (5)A (6)B
(7)B (8)A (9)D (10)C (11)B (12)A
二.填空题
(13) (14)2 (15)①③ (16)4a
提示:
(1)∵≤1}
∴≤1} ∴选D.
(2)由三角函数图象知，y=sinx,y=cosx同为减函数，则或，若再满足，应为.
(3)若
∴,
由正弦定理 ∴ ∵,
∴ ∴
以上各步可逆, ∴选C.
(4)假若,则m, n中至少有一条直线与l垂直. ∴选(A).
(5)由已知有
(6)∵为等腰直角三角形,且
又∵
∴
∴ ∴选(B)
(7)利用对数函数的图象分析,当时,应有满足:,总有.又由对称性知也成立, ∴选B.
(8)∵ ∴
∵
(9)由 ∴ ∴
当
∴ 当
∴选(D)
(10)“至少有一次全部出现一个点”的对立事件为“全部出现一个点的情况一次也没出现”.即每次抛掷时,10个骰子均没有出现一个点的.抛掷一次,10个骰子都出现一个点的概率,而为抛掷一次10个骰子都没有出现一个点的概率,五次抛掷10个骰子都没有出现一个点的概率为. ∴至少有一次全部出现一个点的概率为1- ∴选(C)
(11)∵,
∴
∵平行
∴
∴
∴选(B)
(12)对于 ∴
∴的系数:
对于,令, ∴ ∴的系数:
由题意:
∴
化简得:
此函数为减函数, ∴当n=1时, ∴ ∴选(A)
二.
(13)
(14)
∴切线的斜率为1, 又过点(0,2)
∴切线方程为 ∴
∴所求面积为2.
(15)对于①若显然有,因此①不正确.
②∵
∴原式=
∴②正确.
③函数在处可能没有意义, ∴③不正确.
④若,显然有,
∴④正确.
(16)将方程化为标准式 ，∴焦点F，取特殊情况，当直线PQ∥x轴，则P=8= ∴
(17)[理工](Ⅰ)设)
∵ ∴
∴,解得
∴
(II)
∴
[文史]解：由韦达Th，tanα+tanβ=4,tanα-tanβ=-1
∴
原式=
=
=
(18)解：由题意知α、β是方程的两根，
∴ 得
∴ ∴解得
(19)
(I)
.
(II)①连结CH,则,
设.
在和中
∴
∴
②∵
过C作.
由三垂线定理的逆定理知是二面角的平面角.
∵∽
∴
∵
∴
(20)
解： 由题设
∴定义域为，显然
对V求导
当为增函数。
当为减函数。
（ⅰ）当时，
当时，V有最大值，
（ⅱ）当时，
当时，V有最大值。
(21)由
设椭圆方程为
由圆心为(2,1)得,
又,,
相减得到
从而得
∴直线
代入椭圆方程得
∵直线AB与椭圆相交 ∴.
由 得.
故所求的椭圆方程为.
(22)
(I):由
若时,有,与已知矛盾,
∴
∵ ∴
∵
∴
∴ ∴
(II)当≥2且时,将代入条件式:
得
由
猜想:.下面用数学归纳法证明:
(1)当时,由条件知成立
(2)假设知,
当时,
而
∴
∴
∴
即时成立.
综合(1) (2)对一切
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