综合题训练(4)
一.选择题:本大题共14个小题;第(1)~第(10)题每小题4分,第(11)~第(14)题每小题5分共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，M={x|f(x)=0},N={x|g(x)=0},P={x|f(x)g(x)=0}，则（ ）
(A)P=M∩N (B)P=M∪N
(C)P=CRM∪CRN (D)PM∪N
(2)设函数的反函数为,又函数与函数的图象关于直线对称,那么的值为( )
(A)-1 (B)-2 (C) (D)
(3)某地区经济总产值逐年递增,1997年,1998年,1999年依次为亿元,亿元,,则该地区在1998,1999年里平均年增长率为( )
(A) (B) (C) (D)
(4)有8本互不相同的书,其中语文书3本,数学书2本,其它书3本,若将这些书排成一列放在书架上,那么语文书互不相邻,数学书恰好排在一起的概率(精确到0.01%)为( )
(A)3.57% (B)7.14% (C)0.18% (D)4.59%
(5)在三角形ABC中,则必为( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)形状不能确定
(6)若的展开式中含的项为第6项,若设, 则( )
(A)32 (B)-32 (C)-255 (D)255
(7)正三棱锥A-BCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,并使,设是异面直线EF与AC所成的角,为异面直线EF与BD所成的角,则的值是( )
(A) (B) (C) (D)与有关的量
(8)已知椭圆的左,右焦点分别是F1, F2,以F2为圆心作圆经过椭圆中心,且与椭圆交于点M,直线MF1与圆相切,则椭圆离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
(9)等比数列中,S4=1, S8=3,则a17+a18+a19+a20的值是( )
(A)14 (B)16 (C)18 (D)20
(10)设是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的两个单位向量,且,则四边形ABCD的面积是( )
(A)20 (B) (C)45 (D)30
(11)（理科）由曲线所围图形面积为S,该图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为V,则S与V分别为( )
(A) (B) (C) (D)
（文科）记号min{p,q}表示p, q中的最小者，若f(x)=min{3+,log2x},则（ ）
（A）f(x)的最大值是4
（B）f(x)的最大值是2
（C）f(x)的最小值是4
（D）f(x)的最小值是2
(12)如果函数上的奇函数,在(-1,0)上是增函数,且,则下列关系式中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.
(13)=_____________
(14)不等式的解集是_____________
(15)(理科)某人有资金10万元,准备用于投资经营甲,乙两种电器,根据统计资
料: 那么,他应选择经营_____________种电器.
（文科）若函数y=lg(2x+4·2-x-a)的值域为[0,+]，则实数a=______.
(16)如图,若一直线与顶点在原点,对称轴为x轴的抛物线相交于A, B两点,且,点O在直线AB上的射影为D(2,1),则抛物线方程为_______________.
三.解答题:(本大题共6小题;共74分)
17.(本小题满分12分)若在定义域(-1,1)内可导,且又当时,,试比较的大小.
18(本小题满分12分)
（理科）设,的共轭复数.
(I)求的三角形式;
(II)设≤时,求的取值范围.
（文科）已知sin(x+20°)=cos(x+10°)+cos(x-10°)，求sin2x.
19.(本小题满分12分)
如图,将矩形ABCD沿AE折成二面角D1-AE-B,其中E为DC的中点,D1B=D1C,AB=2,BC=1.
(I)求证:平面AED1平面ABC;
(II)求异面直线AD1与EC所成角的正弦值;
(III)求点C到平面ABD1的距离.
20.某工厂在1999年的“减负增效”中，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该工厂根据分流人员的技术特长计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新的经济实体第n年总收入为an元。
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）当b=时，这个人的哪一年收入最少，最少收入是多少？
（Ⅲ）当b≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入水平永远超过分流前的年收入？
21.(本小题满分22分)
已知抛物线,Q为顶点,直线.
(I)设C和l相交于M, N两点,是否存在实数P,使为直角三角形,且M或N为直角顶点;
(II)是否存在实数P,使抛物线C上总存在两点A, B关于直线l对称.
22.(本小题满分14分)
已知≥2)
(I)求它的反函数,并指出反函数的定义域;
(II)如果数列{} (>0)中, ,前n项和为Sn ,对于所有大于1的自然数n,都有,求{}的通项公式;
(III)设
求.
答案:
一.选择题.
(1) D (2) C (3) D (4) B (5) B (6) D
(7) C (8) A (9)B (10)D (11)C、B (12)D
二.填空题.
(13) (14)[
(15)甲，3 (16)
提示:
(1)若函数f(x),g(x)的定义域相同，则有P=M∪N,若函数f(x),g(x)的定义域不同，则有PM∪N.
如果f(x)=x2,g(x)=lg(x2-1),M={x|f(x)=0}={-1,1},N={x|g(x)=0}={},
∴P={x| f(x)·g(x)=0}={}.
(2)∵, ∴
∴
而应为的反函数。
∴ ∴ ∴选C.
(3) 1997年 1998年 1999年
总产值 a亿元 (a+b)亿元 (a+2b)亿元
设平均年增长率为P,
则 ∴
∴
∴ ∴选(D).
(4)=7.14% ∴选B.
(5)由
有
∴ ∴
∴
∴ ∴
∴ ∴选(B).
(6)展开式 (0≤≤)
.
令 ∴
对于,
令
令,有
∴ ∴选D.
(7)取E, F的特殊位置
设E, F分别为AB, CD的中点,设G为BC的中点,则
.
∵正三棱锥中
∴
∴ ∴选C.
(8)如图,为直角三角形，其中
∴
又∵
∴ ∴选A.
(9)仍成等比，其首项公比为2.
∴ ∴选B.
(10)由已知:
∴
设向量,则
∴
∴
.
同理可求得
∴ ∴选D.
(11)
（理科）
∴选C.
（文科）B
提示：数形结合法，容易得出结论
当x=4时，有最大值2.
(12)∵为奇函数,且在(-1,0)↗,则在(0,1)↗
又
∵
∴
即 ∴选D.
(13)原式=
(14)原不等式等价于但应有≥0.
即 或
(15)
(理科)
甲:期望=1.4
乙:期望
∴经营甲种电器较好.
（文科）∵y≥0 ∴2x+4·2-y-a≥1
a≤2x+-1≥4-1=3.
(16)由已知直线AB的方程为
即:
设抛物线方程为
∴ ①
设
又∵ ∴
∴
由①式有
又
∴
∴
∴ ∴
∴所求抛物线方程
(17)由函数在(-1,1)内可导且知为区间(-1,1)内是减函数;又时,为(-1,1)内的奇函数.
∵的定义域为(-1,1),
∴
∵
=
①若时,则
∴,即有
同理可得:
②若
③若
(18)
（理科）
(I)将已知等式化简得:
∴
(II)∵
∴≤, ∴0≤≤2
∴的实部为1,虚部为,
设
∴
（文科）解：
sinxcos200+cosxsin200=2cosxcos100
∵cosx≠0,
∴tanx=
=
=
=.
∴x=kπ+ (k∈Z)
2x=2kπ+,∴sin2x=.
(19)
(I):取AE, BC的中点M, N,连结MN, D1N,
,
ABCD为矩形
平面
(II)∵, ∴所成角.
过M作,由三垂线定理,有,为等腰,
∴
(III)
∴
∴
(20).解（Ⅰ）列表
时间
工资
收入
总收入
第一年
a
a1=a
第二年
b
a2=
第三年
a3=
·
·
第n年
an=
当n=1时，a1=a
当n≥2时，an=
（Ⅱ）当b=a时,
an=.
≥2.
当且仅当时，即
∴n=3时，an有最小值,第三年收入最少.
（Ⅲ）当b≥时，
an≥
≥2≥2.
当且仅当 b=
化简＞.
∴n＞1,从第一年后收入水平永远超过分流前的年收入.
(21)(I):假设存在实数p,使为直角三角形,且M或N为直角顶点,则QM所在直线的方程是,与l方程联立解得交点M(0,-2).
∵点M在抛物线C上,可得P=2.
(II)假设存在实数P,使抛物线C上总存在两点A, B关于直线l对称,设AB所在直线的方程为代入抛物线C方程,得
由,可得 ①
设则
∵AB的中点在直线l上,则
即
,得,代入①式得
∴
(22)(I):
∵x≥2 ∴
∴ ≥0)
(II)由
∴,
∴是首项为,公差为的等差数列,
∴
∴
由等差数列前n项和公式,易得
(III)
∴
∴.
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