§3.2 回归分析(2)
一．问题情境
1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？
2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．
二．学生活动
对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？
这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量与的线性相关性进行检验（简称相关性检验）．
三．建构数学
1．相关系数的计算公式：
对于，随机取到的对数据，样本相关系数的计算公式为
．
2．相关系数的性质：
（1）；
（2）越接近与1，，的线性相关程度越强；
（3）越接近与0，，的线性相关程度越弱．
可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．
3．对相关系数进行显著性检验的步骤：
相关系数的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：
（1）提出统计假设：变量，不具有线性相关关系；
（2）如果以的把握作出推断，那么可以根据与（是样本容量）在附录（教材P111）中查出一个的临界值（其中称为检验水平）；
（3）计算样本相关系数；
（4）作出统计推断：若，则否定，表明有的把握认为变量与之间具有线性相关关系；若，则没有理由拒绝，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量与之间具有线性相关关系．
说明：1．对相关系数进行显著性检验，一般取检验水平，即可靠程度为．
2．这里的指的是线性相关系数，的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．
3．这里的是对抽样数据而言的．有时即使，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释．
4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验：
（1）作统计假设：与不具有线性相关关系；
（2）由检验水平与在附录中查得；
（3）根据公式得相关系数；
（4）因为，即，所以有﹪的把握认为与之间具有线性相关关系,线性回归方程为是有意义的．
四．数学运用
1．例题：
例1．下表是随机抽取的对母女的身高数据,试根据这些数据探讨与之间的关系．
母亲身高
女儿身高
解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，
因为，，
，
，
，
所以，
由检验水平及，在附录中查得，因为,所以可以认为与之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型中的估计值分别为
，
故对的线性回归方程为．
例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随机抽取名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：
学生编号
入学成绩
高一期末成绩
（1）计算入学成绩与高一期末成绩的相关系数；
（2）如果与之间具有线性相关关系，求线性回归方程；
（3）若某学生入学数学成绩为分，试估计他高一期末数学考试成绩．
解：(1)因为，，
，，
．
因此求得相关系数为．
结果说明这两组数据的相关程度是比较高的；
小结解决这类问题的解题步骤：
（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近；
（2）求相关系数；
（3）由检验水平和的值在附录中查出临界值，判断与是否具有较强的线性相关关系；
（4）计算，，写出线性回归方程．
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